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谈到平行公设（欧几里得第五公设）的证明，我们要先从欧几里得五大公设说起。看似一个简单的联想，但这其中却蕴含着丰富的思维过程！蕴含着我们思考问题时的“点”与“线”的结合，即个体与整体的结合来综合分析，得出我们满意的结果。

那么我们先来认识下欧几里得五大公设在讲什么吧！

1. 任意两点可以通过一直线连接

2. 任意线段都能延伸成一直线

3. 任意线段可以一个端点为圆心、该线段为半径作圆

4. 所有直角都全等

5. 若两直线都与第三条相交，并且在同一边内角和小于两直角，则这两条直线在这一边必相交

我们知道，非欧几何的历史开始于消除对欧几里得第五公设的怀疑，这一条不像其他几条那样简洁、明了，因此很多数学家们，包括欧几里得自己都想找到第五公设的证明，使它从公设成为定理。而证明过程中所需的研究途径有二：1、用一种自明的命题代替平行公设；2、试图从欧几里得其他几个公理推出公设。但实际在后者的证明中都不自觉地用到了第五公设的等价定理，引进了未加证明的新假设。因此，这种“证明”并没有减少公理，只不过用第五公设等价的新公理代替第五公设而已。

欧几里得

下面我们就来瞅一瞅平行公设的证明发展的历史吧！

托勒密：想要证明平行公设，但托勒密不自觉的假设了两直线不能包围整个空间，并且假定若两平行线被截线所截，则在截线一侧内角成立的东西也必在另一侧同样成立。因为这句话，并不比第五公设更加自然，实际上可以看成是第五公设的一个等价变换而已。这是犯了循环论证的逻辑错误。

普罗克鲁斯：认为截线一侧两内角到达一定的和数，两直线可能一定相交，然而对于稍大一点儿而仍小于两直角的数值，两直线可能是渐近线。实际上是将一个有问题的公理用另一种说法代替了。渐进的说法，基本上还是定理的意思。

奥马·海亚姆：试图证明平行公设，在证明过程中实际上引用了与第五公设等价的假设：两条直线如果越来越近，那么它们必定在这个方向上相交。

奥马·海亚姆

纳西尔·丁：换了一种证明方法，但是忽略了一种情况：没有考虑到折线向左延展过程中，越来越密，以至永远不能超过中点，更不用说到达边了。

沃利斯：根据一个明显的假设即对于任意一个三角形，存在一个三角形与原三角形相似，两三角形的边长之比等于任何已给值，去证平行公设。

沃利斯

可以看出一直到这个时候，公设的概念还不是很清晰。

萨凯里：利用萨凯里四边形，得出三种情况（直角假设、钝角假设、锐角假设）。并用反证法试图否决掉钝角假设和锐角假设，从而得出直角假设是正确的。在进行锐角假设进行推导时并非推出矛盾，而是萨凯里自己觉得不合情理，因此将锐角假设强行否决了。假定直线无限长因此推出钝角假设的矛盾现在看来是有问题的。

勒让德：证明三角形内角和不能大于两直角。又证明在同等条件下面积与亏值成正比。最后得到面积无限扩大，内角和为0的荒谬结论。要证明这个命题仍需引用只有使用平行公设才能证明的结论（循环论证）。

勒让德

这无数的失败给人们带来的重要收获就是得到了一系列与平行公设等价的命题，而这些命题本身看上去那样自然以致使某些数学家误以为它们自然成立，从而导致许多人误认为自己证明了平行公设。这是为什么呢？本身自然就能表明解决了要证明的问题吗？而这个自然成立又是怎么得到的呢？需要我们认真思考。

同时，我们还会发现，在证明一些定理或者公设的过程中，我们探索的过程中也是在不断开辟新天地的过程。或许所要解决的问题并非那么容易得到解决，但我们在过程中已然得到了许多丰富多彩的知识，这大概也是数学美的一种展现吧。

写在最后

有哪些等价定理呢？

>命题“两相交直线不能同时平行于第三条直线”与平行公设等价（Fenn，1769）

>命题“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”与平行公设等价（Playfair,1795）

>命题“任意三角形内角和等于二直角”与平行公设等价

>命题“每一三角形内角和都相同”与平行公设等价

>命题“毕达哥拉斯定理”与平行公设等价

>命题“圆内接正六边形的一边等于此圆的半径”与平行公设等价

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