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01 引言

几何作为数学三大基石之一，在数学中的地位可谓不言而喻。

我们从小就学习几何。初中的勾股定理，高中的射影定理、角平分线定理，无不是几何学的重要内容。

但是，大家知道吗？其实我们在中学学习的几何，只是几何学中的一种几何，那就是著名的欧几里得几何。

欧氏几何传承了两千多年，关于它，我们要从希腊数学开始谈起。

02 《几何原本》简介

早在遥远的希腊，数学家就被几何无限的魅力所倾倒。2000多年前，一本影响至今的数学巨著《几何原本》，划破人类文明的长夜，横空出世。《几何原本》由欧几里得编著，大约成书于公元前300年。

《几何原本》全面、系统地整理了远古人类创造的零散数学成果，以五大公设为基础，由简单到复杂，用严谨的逻辑思维进行了层层推理和严格证明。

全书十三篇，其主要内容为：第一篇到第四篇讲直边形和圆的基本性质；第五篇讲比例理论；第六篇利用第五篇的比例理论讨论相似形；第七、八、九篇讲述数论，即讲述关于整数和整数之比的性质，这三篇也是《原本》中纯粹讨论算数的唯一篇章；第十篇着手对无理量（与定量不可公度的量）进行分类；第十一、十二、十三篇讲立体几何和穷竭法。

全书先后论述了直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何等内容，应用了丰富的数学思想：分析法、综合法和归谬法。全书缜密的逻辑可谓美妙绝伦，令人陶醉。

徐光启在评论《几何原本》时说过：“此书为益能令学理者祛其浮气，练其精心；学事者资其定法，发其巧思，故举世无一人不当学。”同时也说：“能精此书者，无一事不可精；好学此书者，无一事不可学。”

爱因斯坦更是认为：“如果欧几里得未激发你少年时代的科学热情，那你肯定不是天才科学家。”

两千多年来，《几何原本》一直是学习数学几何部分的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡尔、牛顿等许多伟大的学者都曾潜心学习过《几何原本》，从中汲取了丰富的营养，对他们后来的研究产生了巨大的影响。

《几何原本》是最早的一本内容全面、结构系统的数学书，它的问世是古代文明史上的一大壮举。人类第一次用“公理系统”构建起了古代数学的几何大厦，对近代和现代数学，产生了深远的影响。

03 非欧几何

非欧几何开始于对欧氏几何第五公设（即平行公设）的研究。

欧氏几何的五大公设为：

1. 任意两点可以通过一直线连接。

2. 任意线段都能延伸成一直线。

3. 任意线段可以一个端点为圆心、该线段为半径作圆。

4. 所有直角都全等。

5. 若两直线都与第三条相交，并且在同一边内角和小于两直角，则这两条直线在这一边必相交。

欧几里得的第五公设，也称平行公设。在欧氏几何的所有公设中，唯独这条公设显得比较特殊，它的叙述不像其它公设那样简洁、明了。当时就有人怀疑它不像一个公设而更像是一个定理，并产生了从其它公设和定理推出这条公设的的想法。

数学家们对平行公设是否能使用其他九个公理证明的问题，进行了许多的尝试，直到非欧几何的诞生，才终止了尝试。比如在罗氏几何中三角形的内角和小于180度。

非欧几何的产生和发展，在客观上对研究了两千多年的第五公设作了总结。它打破了两千年来欧几里得几何一统天下的局面，从根本上改变了人们的几何观，是自希腊时代以来数学中一个重大的革新步骤。

同时，非欧几何使数学哲学的研究进入了一个崭新的历史时期。18世纪和19世纪前半期最有影响的康德哲学，它的自然科学基础支柱之一是欧几里得空间。非欧几何的创立，冲破传统观念并破除千百年来的思维习惯，数学的绝对真理观点刮来一场暴风，给康德唯心主义哲学以有力一击，使数学从传统的形而上学的束缚下解放出来。

尽管我们在中学一直学习的只是欧氏几何的部分内容，但我们一定要知道，在今天的几何学中，欧氏几何仅仅是其中的一个分支，我们生存的空间也并不是欧氏几何所描述的那样。

欧氏几何缜密的逻辑和严格的推理令人着迷，这是我们需要学习的地方。但如果因此就认为只有欧氏几何这一种几何，未免贻笑大方。我们承认欧氏几何的历史价值和现实意义，我们更要去探索未知的几何和能描述真实世界的几何。

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