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“真假”几何——非欧几何与现代数学的“公理”(上)

作者:闲谈数学发布日期:2019-12-07 23:27浏览次数: 来源:微信公众号

 我们小学所学的抽象于生活的欧几里得几何,爱因斯坦在广义相对论中说符合广义空间坐标的几何原型的黎曼几何,两种几何体系究竟谁真谁假呢?

 上千年来,人们一直信奉者欧式几何,视之为颠扑不破的真理,不可动摇,因为这是符合人的几何直观的,人们就是这么看世界。但是,对于第五公设的怀疑,促进了非欧几何的出现。那么,非欧几何与这个客观世界有什么关联吗?

1. 欧几里得和他的《几何原本》

据说除了基督教的圣经之外,印的最多,流传最广的书,要算公元前300年左右,古希腊数学家欧几里得(希腊:Ευκλειδη? ,英文:Euclid,公元前330年—公元前275年)写的《几何原本》(希腊文:Στοιχε?α,英文:Element)了。全书共分13卷。书中包含了5个“假设(Postulates)”、5条“公设(Common Notions)”、23个定义(Definitions)和48个命题(Propositions)。

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古希腊数学家欧几里得

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 残卷

自从希腊人知道了不能用分数表示之后,他们对“数”的热情转移到“形”上,这使几何学得到辉煌的发展。欧几里得的《几何原本》,集当时全部几何知识之大成并加以系统化,把希腊几何提高到一个新水平。在两千年之久的时期内,《几何原本》既是几何教科书,又被当成严密科学思维的典范。它对西方数学与哲学的思想,都有重要的影响。欧几里得的《几何原本》,是一个精致的借助演绎推理展开的系统。它从定义、公设、公理出发,一步一步地推出了大量的,很不显然的,丰富多彩的几何定理。

他尽力对每一个几何术语加以定义。例如,他的最初的几条定义是:

定义1.点是没有部分的那种东西;

定义2.线是没有宽度的长度;

定义4.直线是同其上各点看齐的线;

定义14.图形是被一些边界所包含的那种东西。

他除了定义之外,又选择了一些不加证明而承认下来的命题作为基本命题,他把这些基本命题叫公理或公设。他有五条公理和五条公设,其中五条公设是:

公设1.从一点到另一点可作一条直线;

公设2.直线可以无限延长;

公设3.已知一点和一距离,可以该点为中心,以该距离为半径作一圆;

公设4.所有的直角彼此相等;

公设5.同一平面内的两条直线与第三条直线相交,若其中一侧的两个内角之和小于两直角,则该两直线必在这一侧相交。

欧几里得从公理、公设和定义出发,推导出了数百条几何定理。这一杰作展示了逻辑的力量,显示出人类理性的创造能力。

不过,到19世纪,数学家们的严格性标准大大提高之后,发现《几何原本》并非像原来人们所认为的那样完美无瑕,它有两方面的逻辑漏洞。一方面,欧几里得的证明中用到了公理、公设和定义没有包括的一些命题。这些命题要补充到公理当中去。另一方面,他的定义有问题:为了定义点,他用到了“部分”这个术语;为了定义线,他用到了“宽度”与“长度”;为了定义直线,他用到了“看齐”;为了定义图形,他用到“边界”。这样用不加定义的术语来说明要定义的术语,结果等于没有定义。这样的定义是不能在推理中使用的,因为在逻辑上我们不知道如何使用“部分”“长度”“宽度”“看齐”等这些术语。这些漏洞已经被19世纪的数学家们补上了。

2. 欧几里得的几何定理是真理吗?

欧几里得的《几何原本》向哲学家们建议了一种认识真理的方法:从少数几条明白清楚的前提出发,用逻辑工具证明你的结论。如果前提是真理,则结论也是真理。这一思想对哲学家们产生了重大影响。后来的许多哲学家,特别是唯理论派哲学家,力图用欧几里得的方式写出自己的着作,阐述自己的学说与观点。

但是,一个更基本的问题出现了,怎么知道欧几里得的公设是真的呢?两千多年中,哲学家们几乎一致认为,欧几里得的公设就是真理。认为这些公设是可以确定地明确地知道的东西,是绝对普遍而严格的真理。而且,多数哲学家认为这些公设既不是来自经验,也不是来自逻辑分析,而是来自人类理性的先天洞察能力。确实,柏拉图(Plato,Πλ?τeων, 公元前427年—公元前347年,古希腊伟大的哲学家)早就宣称:我们用理性的眼睛看到“形式”的永恒王国;康德(Kant,1724年—1804年,德国古典哲学的创始人,德国古典美学的奠定者)认为,心智认知几何学时是在把握它自己的感觉观能的先天结构。就连一些唯物主义的哲学家,在涉及几何学时,也不否认欧几里得几何的真理性。

那么,说这些公设是真的,是什么意思呢?比方说,“两个点可以确定一条直线”,这里直线是什么意思呢?如果“直”线的意思不清楚,说“两点可以确定一条直线”是“真”的又有什么意义呢?哲学家们认为,“直”就是人们通常理解的直。什么又是通常理解的直呢?我们有好几种标准:

(1)木工检验一条直线直不直,是沿着它看。看,当然依赖于光。这就是说,光走的是直线。

(2)建筑工人确定地基时要拉线。这是认为,拉紧了的线是直的。

(3)直线是两点间最短的路线,是唯一的。

(4)过线的一端以另一端为心画圆。如果线是直的,圆周长应当是线长的2π倍。

当然,我们还可以找到别的标准。如果这些标准互相矛盾了怎么办呢?大家认为,它们不会矛盾。确实,经验告诉人们这几条标准是一致的。于是,人们没有理由怀疑欧几里得几何的真理性。欧几里得几何被当作人类可以认识绝对真理的范例。至于逻辑漏洞,那是技术上的细节,补上就好了。

3. 非欧几何的发现

在欧几里得的《几何原本》中,第五条公设是:同一平面内的两条直线与第三条直线相交,若其中一侧的两个内角之和小于二直角,则该两直线必在这一侧相交。因它与平行公理是等价的,所以又称为“欧几里得平行公设”,简称平行公设。由于第五公设的内容和叙述比前四条公设复杂,理解起来并不见得容易,很不像一条自明之理。所以引起后人的不断研究和探讨:能不能把第五公设作为公设的资格取消呢?这个诱人的思想吸引了欧几里得以后的许多数学家。要把它从公设的行列中赶出去,就只有用别的公设来证明它,使它成为一条定理。但是,企图证明第五公设的努力在两千多年中无一例外地都失败了。每一个被提出的证明不是在逻辑上犯了错误,就是隐含地引进了另一条不加证明就承认了的命题。

对第五公设的研究,使人们的几何知识更丰富了。大家弄清楚了,可以用另一些命题代替第五公设而不改变欧几里得几何的内容。这些可以代替第五公设的命题有:

“过直线外一点能且仅能作一条平行线”

“三角形内角和等于两直角”

“过不在一直线的三点有且仅有一个圆”

“存在面积足够大的三角形”

到19世纪,数学家开始从反面入手想问题了。这叫做“回头是岸”。他们想:既然两千多年的努力都失败了,是不是根本不可能从另外几条公设出发证明第五公设呢?如果假设第五公设不成立,用不与第五公设相容的公设代替它,推演下去又会如何呢?如果出了矛盾,就能与用反证法证明了第五公设。如果永远不出矛盾,岂不是发展处另一套几何系统吗?

果然,罗巴切夫斯基(1792年—1856年,俄罗斯数学家,非欧几何的早期发现人之一)、鲍耶(1775年—1856年,匈牙利数学家、诗人、剧作家)和被称为数学王子的高斯几乎同时各自独立地发现了这一种几何。高斯怕引起争议而没有发表。而罗巴切夫斯基和鲍耶都发表了这一发现。罗巴切夫斯基为这种一开始就遭到反对与讥笑的几何挺身辩护,坚持自己的观点。现在这种几何叫罗氏非欧几何。在罗氏非欧几何中,过直线外一点可作无穷多条平行线,三角形内角和小于两直角,相似三角形必全等,圆周率大于π等许多不符合人们通常看法的结论。

随后,黎曼也提出了另一种非欧几何。在黎曼几何里,不存在平行线,直线不能无限延长,三角形内角和大于两直角,圆周率小于π。非欧几何的发展引起了热烈的争辩。两千年来,大家以为只有一种真实的几何,那就是欧几里得几何。如果欧几里得几何是真的,另外的几何就应该是假的,不相容的,有矛盾的。但是,反对非欧几何的人一直不能从非欧几何中推出矛盾。恰恰相反,数学家利用在欧几里得几何之内构造模型的办法,证明了如果欧式几何内部无矛盾,非欧几何也无矛盾。例如,把球面上的大圆叫做“直线”,这样每两条“直线”都相交,由“直线”围成的三角形内角和就大于180°(如图3),等等。这正符合黎曼几何。如果黎曼几何有矛盾,那这矛盾一定同样在欧式几何的球面上表现出来。

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又如,把欧几里得平面上的一个圆的内部看成罗巴切夫斯基平面,每条弦都叫做“直线”。这样,过弦外一点可以作无限多弦与此弦不相交(如图4),那就是有无穷多条平行线了。按某种特殊的“长度”与“角度”计算方法,可以算出三角形“内角和”小于180°(如图5)。

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图四

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图五

这样,三种彼此矛盾的几何又成了同唿吸共命运的三姐妹——一个内部有矛盾,另外两个也就有矛盾!那么,哪一种几何才是真的呢?我们会在《“真假”几何——非欧几何与现代数学的“公理”(下)》里给出答案。敬请关注!


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[责编:大鱼]

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