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“毕达哥拉斯创立了数学，并把它变成一门高尚的艺术。”——欧德缪斯

“万物皆数。”——毕达哥拉斯

毕达哥拉斯是希腊哲学家、数学家、音乐理论家、天文学家。约公元前560年生于小亚细亚西岸的萨摩斯岛，约公元前480年卒于梅塔蓬图姆（今意大利半岛南部）。

毕达哥拉斯早年曾在锡罗斯岛（在爱琴海中）最费雷西底（Pherecydes）学习，后来师从于爱奥尼亚学派的安纳西曼德（Anaximander），有的资料说他曾在被誉为“科学之相”的泰勒斯（Thales）指导下进行过学习和研究。以后游历埃及、巴比伦等地，学到了不少数学、天文知识，回到家乡后开始讲学。公元前520年左右，为了逃避暴君波利克拉底（Polycrates）的统治，移居西西里岛，最后定居在意大利半岛南端的克罗托内。在那里广收门徒，建立了一个宗教、政治、学术合一的团体，其成员都潜心于学术研究，从而形成毕达哥拉斯学派。这个学派组织是很严密的，每个成员都要接受长期的训练和考核，遵守很多清规戒律，宣暂永不泄露学派的秘密和学说。毕达哥拉斯学派在政治上代表奴隶主贵族的利益，因而受到当时兴起的奴隶解放运动的冲击，毕达哥拉斯被迫移居梅塔蓬图姆，约公元前480年被政敌杀害。克罗托内的活动场所也被捣毁，他的门徒逃散到希腊其他学术中心，继续进行数学、哲学研究以及有关的政治活动，并保持着其奠基人的传统，直到公元前4世纪中叶。这个学派繁荣兴旺长达一个世纪之久，而且对后来数学的发展，特别是对微积分的发展，产生了探远的影响。

毕达哥拉斯学源有一种规定，就是要将一切发明和发现都归于学派的领袖，且秘而不宜，因此我们所谈到的毕达哥拉斯的贡献，确切地说应该是指该学派的贡献。

毕达哥拉斯是希腊早期最着名的哲学家，有的资料说“哲学家”这一词就是由毕达哥拉斯创造的。毕达哥拉斯学派的哲学基础是“万物皆数”，他们将抽象的数作为万物的本源。正如亚里士多德（Aristotle）所说：“毕达哥拉斯学派把数看成本质，这就是说，看成是万物的元素。”他们研究数学的目的是企图通过揭示数的奥秘来探索宇宙的永恒真理。他们发现数与几何图形、数与音乐的和谐、数与天体的运行都有密切关系，从而把整个学习课程分为四大部分：（1）数的绝对理论——算术；（2）静止的量——几何；（3）运动的量——天文；（4）数的应用——音乐，合起来称为“四艺”。后来加上文法、逻辑、修辞，合称“七艺”。他们相信对几何形式和数学关系的沉思能达到精神的解脱，音乐则被看作是达到解脱、净化灵魂的手段。黑格尔（Hegel）说：“毕达哥拉斯学派的哲学形成了实在论哲学到理智哲学的过渡。”

毕达哥拉斯是历史上有可靠记载的第二个希腊数学家（第一个一般是指泰勒斯）。数学作为一门科学实际上始于毕达哥拉斯，正如公元前4世纪的科学史家欧德缪斯（Eudemus）所说：“毕达哥拉斯创立了数学，并把它变成一门高尚的艺术。”作为演绎科目的数学并把它构成一个数学的知识体系，是毕达哥拉斯及其门人的杰出贡献。基于“万物皆数”的信念，他们首先把抽象的数的观念放到首要地位，并把算术与儿何紧密联系起来，例如把算术中的单位看作“没有位置的点”，而把几何的点看作“有位置的单位”。他们提出了区别奇数、偶数、素数的方法；发现了完全数（若一个数等于其全部真因子之和，则称这个数是完全数）、亲和数（两个数是亲和的，即两数之中任何一个数是另一个数的真因子之和。284和220就是毕达哥拉斯最先发现的第一对亲和数）。毕达哥拉斯还证明了：若2^n-1是素数，则2^(n-1)（2^n - 1）是完全数。他们还研究了：三角形数（见图1）、正方形数（见图2）、五边形数（见图3）等等。

毕达哥拉斯本人尤以发现勾股定理着称于世。（中国的商高早在毕达哥拉斯600多年之前，就已经发现了勾三股四弦五的结论；公元前两千年左右的巴比伦的泥板书上列有15组勾股数。这表明他们早已经发现这一定理。）更重要的是由于这个学派对勾股定理的研究，导致了不可公度量的发现（据亚里士多德称，毕达哥拉斯学派是用归谬法证明了边长为1的正方形的边长与对角线长是不可公度的）。不可公度量的发现是这个学派卓越的贡献，也是数学史上的重大事件，但却和该学派的信条相悖，因为他们认为万物都可以用数来表示。他们所谓的数就是整数与分数，除此以外他们不知道也不承认别的数。不可公度量的发现表明有些量不能用他们所说的数来表示，这对他们的信条是一个致命的打击并使之惶恐不安。相传他们为此竟将最先发现不可公度量的本学派成员希帕萨斯（Hippasus）投海毙命。然而，毕达哥拉斯学派发现不可公度比这一事实，使希腊数学家迫切要想解决一个难点：离散与连续的关系。它还激起了后来欧多克索斯（Eudoxus）去寻求同时适合于可公度与不可公度数量的高级比例理论。经过两千多年之后，它还是戴德金（Dedekind）运用戴德金分割去定义实数的一个动因。

毕达哥拉斯学派对建立先验的演绎法，在一定范围内获得了显着的成就。他们承认并强调数学的对象是抽象的思维，同实际事物有所区别。他们在数学中引入逻辑因素，对命题加以证明，这方面可以说做了大量工作，这些工作为欧几里得公理化体系奠定了基础。他们证明了泰勒斯提出的三角形内角和定理；给出了多边形内角和定理；证明平面可用等边三角形、正方形、正六边形填满，空间可用立方体填调；发现了正五角形和相似多边形的作法；研究了黄金分割；发现了五种正多面体，并将它们与自然界中各种物质对应起来。在他们看来几何学是自然界所固有的，几何学理想化的概念好像通过物质世界面得以实现。这种抽象与具体的混同，理性观念与经验描述的混同，是整个毕达哥拉斯学派和以后不少思想派系所具有的共同特点，正是这种特点对微积分概念的萌发产生很大影响。

毕达哥拉斯学派的一个很重要的贡献是面积贴合理论。它在希腊几何学中是基本理论，以致后来发展而产生了穷竭法。面积贴合的方法使他们能够说明一个由直线围成图形大于、等于、小于另一个图形。这种把一个图形贴合到另一个图形上去的方法，是试图给面积概念以明确定义的开端。在这种观念中，一个面积的单位被认为是为另一面积以一定的倍数所包容。希腊数学家不是说一个图形的面积，而只是说两个面的比。这样一种定义方法，由于不可公度问题的存在，在数的概念还没有发展到完善的程度以前是无法使之精确化的。它一直到19世纪下半叶方才形成确切定义，也正是这样的概念才奠定了整个微积分学的基础。但是，人们之所以认识到需要有这种概念，应该归功于毕达哥拉斯学派的贡献，正是因为他们发现了这种需要，可以说在微积分概念的发展史上跨出了第一步，或者说才使之有了一个开端。

毕达哥拉斯是一个音乐理论家。他发现：对于有同样张力的琴弦，为了使音阶提高8度，则长度应取原长度的1/2；若要提高5度，则应取原长的2/3；若要提高4度，则应取原长的3/4；他们还注意到，在用三根弦发音时，当这三根弦的长度之比数为3，4，6时，就得到和声的谐音。这些成果是数学物理中最早记载的事实，这使毕达哥拉斯成为音阶的科学研究的鼻祖。

毕达哥拉斯学派在天文学方面也有不少见地。他们不但认为数与天体运行有密切联系，存在着“宇宙的和谐”，还从唯美主义出发，认为：一切平面图形中圆形最美；一切立体图形中球形最美；而宇宙的结构是符合美的原则的；从而首创了地圆说。认为日、月、五星以及其他天体都呈球形，浮在太空中，天体的运行都沿着圆形的轨道作匀速运动。还认为天体之间的距离应该服从音阶之间的音程比例。毕达哥拉斯原先认为地球是宇宙的中心，但他的门徒（如希塞塔斯（Hicetas）、菲洛劳斯（Philoaus）等人）放弃了这一观点，认为地球绕着“中心火”（Central fire，不是太阳）旋转。有人认为他们已经建立了太阳中心说，这是误解。但他们确已发现地球每日自转一周，这是关于地球自转的最早假设。他们还注意到月球的轨道与地球的轨道不在同一平面上，而与该面倾斜成一角度。毕达哥拉斯还是第一个认为启明星（Phosphorus）和昏星（Hesperus）是同一颗星的希腊人，此星我们现在称为金星。

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