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如何通俗理解泰勒公式?

作者:木叶发布日期:2021-11-17 20:20浏览次数: 来源:数学经纬网原创

用一句话说,泰勒公式就是在一点用多项式函数对一般函数的逼近。它的伟大之处就在于用已知的、简单的、容易的函数去研究未知的、复杂的、艰深的函数。当然,这里所说的已知和位置、简单和复杂都是相对而言。这种逼近有一种很好的特性,就是逼近的效果与多项式的阶数直接相关。就好比我要复制一座雕塑。我当然希望复制得越精确越好,但是更高的精度意味着更复杂的工序。如果只是看起来差不多,那我只需要用雕刻刀就可以了。但是如果要精确到毫米级,我就需要一种类似于安全系统控制组件复刻师(钥匙匠,俗称配钥匙的)用的机器。

如何通俗理解泰勒公式?

配钥匙

如果要精确到微米级,那就需要最好的数控机床。

如何通俗理解泰勒公式?

数控机床

不过数学上并没有这么麻烦,只需更高阶的导数就可以了,结果是这样的:

如何通俗理解泰勒公式?

泰勒公式

图中是用下面这个公式来逼近正弦函数

sinx~x/1!+x^3/3!+x^5/5!+⋯+x^n/n!,n为基数。

可以看出,逼近只在一个范围内有效,这个范围随着多项式的阶数增加而增大,但是中心都固定的,都在原点。这就是在一开始讲的,泰勒公式是在一点的逼近,逼近的效果随着多项式阶数的增加而越来越好,范围也越来越大。

认真的同学可能会发现,上面的公式没有最后的余项。有人会说:既然是余项,多余的东西,可以不用管它。确实在很多时候我们都不去考虑余项是什么,这里也没有写出来,但这并不代表余项完全不重要。余项的重要性在于它的形式,泰勒公式的余项是(f^' (θx))/(n+1)! x^(n+1),为什么我们找到的级数可以逼近原来的正弦函数、为什么逼近的效果越来越好,都是余项的原因。首先,余项是x的幂次,所以当x→0时,余项也趋近于0,也就是说级数在原点逼近原函数。其次,余项的分母是幂指数的阶乘,阶乘的增长速度是比幂乘更快的。要让x^10/10!>1,x需要等于6.59,而要让x^9/9!>1,x只需要等于4.18。所以如果高阶导数不是很大的话,级数的阶数越高,逼近效果越好。

那么进行这样的逼近有什么好处呢?首先是它的余项都是幂函数,有一个自然的分阶。对于一个复杂的无穷小量,我们可以通过泰勒展开式迅速地确定它的阶数。比如

cosx-e^(-x^2/2)=[1-x^2/2!+x^4/4!+o(x^4 )]-[1-x^2/2+1/2!  x^4/4+o(x^4 )]=-1/12 x^4+o(x^4)

在极限问题中,这个性质可以既可以用来取巧,也可以用来暴力求解——把极限化成无穷小的商然后全部替换成泰勒公式(这样做的人要有多丧心病狂就有多丧心病狂)。

其次泰勒公式的余项是比较确定的,也就是说逼近的误差是可以计算的,而且公式里都是多项式,运算简单且多次重复,所以很适合用来进行数值计算。比如皮纳尔常数e就可以用指数函数y=e^x的泰勒展开式进行计算,也就是

e=1+1/2!+1/3!+1/4!+⋯


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[责编:云峰]

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