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自然常数e到底有多少秘密?欧拉、高斯等也没研究透彻

作者:数学原来如此发布日期:2020-07-29 20:37浏览次数: 来源:网易新闻

历时五百年,自然常数e已经在数论、代数、分析等数学领域发挥了巨大作用,它的归宿在哪里?又将走向何方?

1792年,15岁的高斯在他对数表的最后一页,给出了关于质数分布的一个猜想:

Primzahlen unter a(=∞)a/lna

用现在的符号表示为:π(x)~x/lnx. (当x→∞时,不大于x的质数的个数为 x/lnx)

此猜想经黎曼等数学家的补充与证明,最终变成对数论发展影响深远的“质数定理”。定理中的两个重要概念——质数与自然常数e,一个属于数论范畴,另一个(lnx中的底数是自然常数e)则隶属于分析学。“质数定理”将两个看似毫无关联的数学分支——“数论与分析”紧密联系在了一起。

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高斯

一、自然常数e的来源

数学中很多重要的常数,如圆周率π、根号2等,但从定义上理解,自然常数e可能是最为耀眼的一个,因为它是第一个使用极限来定义的常数:

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自然常数e是如何被人们的发现的呢?一般认为与16世纪计算复利密切相关:

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小王急用1万元钱,找人借高利贷,贷款年利息是100%,并可自由选择结算利息的次数。小王该选择多久结一次利息更划算呢?先来看看不同结算次数对还款的影响.

◎ 一年(12个月)计息一次,1年后还款 1+1=2 (万元)

◎ 半年(6个月)计息一次,1年后还款 (1+1/2)^2 =2.25(万元)

◎ 一季度(3个月)计息一次,1年后还款(1+1/4)^4 ≈2.44(万元)

◎ 一个月计息一次,1年后还款(1+1/12)^12 ≈2.61(万元)

这样的计息方式还可以无限的继续下去,我们发现利息结算次数越多,年底还款也就越多,小王当然选择一年结算一次比较划算。

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现在继续往下思考,对于这样的贷款方式,如果结算次数无限多,年底还款会不会是个无底洞呢?我们再来看看下面的数据:

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越往后计算,其结果越接近于2.718281828…,即

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这是一个不可思议的结果,我们现在通常用字母e来表示这个数,并称之为自然常数。可惜的是我们不知道谁第一个发现了这个极限值,现在知晓的比较早些的线索是出现在纳皮尔的《奇妙的对数表的描述》(1618年)一书中。

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在“可与‘微积分’媲美的发现,让伽利略、欧拉等数学大神都赞不绝口”一文中,说到纳皮尔的对数表中计算了

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的值,结果近似等于1/e。这是巧合还是有意为之,我们很难判断,但纳皮尔的这一记录的确引起了数学家们的注意,尤其是伯努利家族。

二、自然常数e变得重要起来

伯努利家族以“盛产”物理学家、数学家而闻名,约翰·伯努利和雅克比·伯努利两兄弟都是伯努利家族中最着名的一员。雅克比·伯努利第一次把e看成常数,并试图计算。

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莱布尼茨在1690-1691之间给惠更斯的通信中第一次用到这个常数,并用b表示。

1691年6月,《教师学报》同时发表了三位数学家(惠更斯、莱布尼茨、约翰·伯努利),关于“悬链线”问题的解答,这样一个表达式用到了自然常数e。

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同时,17世纪的一个关于对数的重要发现更是使得自然对数e走到了数学的前沿。

1647年,比利时数学家圣·文森特(Gregoire de Saint-Vincent)利用费马的方法,在对直角双曲线y=1/x求积时,发现“当长方形的长宽形成几何级数时,这些长方形的面积相等”。

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文森特的这个结论换一种说法为:

曲线y=1/x下的矩形面积,在区间[a,b]和[c,d]上,分别为m,n.

若a/b=c/d ,则m=n.

根据这个结论,如下图,设y=1/x下矩形在区间(1, a),(a,b),(b,ab)上的面积分别为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ. 由于 a/1=ab/b ,则Ⅰ=Ⅲ。当a→b时,y=1/x的图像与x轴在(1, a)与(b,ab)上围成的曲边梯形的面积也相等。记为Ⅰ*=Ⅲ*。因此y=1/x的图像与x轴在(1, a)及(1,b)上围成的曲边梯形的面积等于在(1,ab)上围成的曲边梯形的面积,其值均为:2Ⅰ*+Ⅱ* 。

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这个结论告诉我们:y=1/x下面积公式满足:

A(ab)=A(a)+A(b)

也就是面积公式可以用对数表示。

牛顿在广义二项式定理的基础上,也间接的得到了y=1/(1+x)曲线下面积可用对数来表示的结论。

广义二项式定理是牛顿计算函数微积分的重要工具,他对于很多函数的求导、求积都源于函数的无穷级数展开。

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按照费马公式,

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对以上各项求积分得到y=1/(1+x)曲线下面积公式:

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根据分析知识,牛顿已经得到了用对数来表示的级数展开:

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17世纪的文森特与牛顿,一个用费马的求积法、一个用二项式定理,都分别将y=1/(1+x)曲线下面积公式用对数来表示,而这个对数的底数是什么呢?根据ln(x+1)这个式子相信你已经想到了,这个底数是e。下面是简单的推导:

18世纪(欧拉时代之前),指数函数只被当作对数函数的反函数,因此,对于函数

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自然对数e在直角双曲线y=1/x求积上的应用让18世纪的数学家们倍感欣慰,

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, 两个式子更是初步确立了自然对数e在分析学中的重要地位。

三、自然常数e核心地位的确立

到了1748年,欧拉的数学巨着《无穷小分析引论》出版,这本书是现代数学分析的基础,它第一次使用符号f(x)来表示函数,并将函数概念进一步推广。但这本书还有一个亮点——第一次将自然常数e,函数y=e^x摆放到数学分析的核心位置。

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欧拉

定义:

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以及推导出了e^x的级数展开式:

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如果欧拉的研究到此为止,那数学星空只是意外添加了几颗亮光微弱的小星。但大师欧拉的洞察力和勇气超乎我们的想象,他做了一个大胆、出格的决定:将展开式中的x换成ix(这里的i为虚数单位)得到:

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紧接着,将式子中的虚部与实部分开

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(*)式用一种简约而不简单的方式,将三角学、代数学、以及分析学三个数学分支紧密的联系了起来,不但如此,欧拉令这里的x=π,得到了另一个“最美公式”:

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欧拉公式

这里借用一首诗来欣赏这个公式之美

《春怨》

心中既有i,何故不表白;

梦里合如 1,醒时各伤怀;

春去春又来,e人空等待;

闲时花凋零,不是浪漫π。

一个表达式将代数中的“i”,算术中的“1”,分析中的“e”,以及圆周率π,这几个重要的数学常数联系到了一起,没有比这更神奇的事情了。

欧拉一生对分析学有着巨大的贡献,他与生俱来的洞察力与魄力让他在分析研究上运用自如,但他的这样的性格同时也带来了一些“麻烦”,就是欧拉所得到的这些结论背后的严谨性,欧拉并没有真正一一的仔细去推敲。但这并不影响他数学大师的身份,或者说,相反的他将这些的结论的严谨性留给了后世的数学家(如拉格朗日、柯西等),让年轻一代有更多的思考和成长空间。

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在欧拉工作的鼓励下,柯西、黎曼、维尔斯特拉斯将自然常数e巧妙的渗入复函数中,使得复变函数得以在19世纪与抽象代数、非欧几何并列为三大成就。

四、自然常数e到底是什么样的数?

以17世纪自然常数e被重新认识开始,18、19世纪的数学家们迅速认识到e的不可缺少性,再通过e在各个领域的出色表现,数学家们对e的本身性质也产生了好奇。第一个问题无疑是:自然常数e是有理数还是无理数?

这不是一个简单的问题,但对于大师欧拉却并非难事。1737年,青年欧拉就已经证明了自然常数e以及它的平方e^2均为无理数。欧拉的证明方法不是很容易理解,但相信下面的这个初等证明你会阅读得很愉快。

自然常数e为无理数的证明:

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自然常数e的无理性被证明以后,数学家们继续前进,并得到了下一个惊人的结论:自然常数e是超越数。所谓超越数,是与代数数相对应的数,即超越数不是任何一个整数系多项式的解。18世纪的朗伯特(1768年他证明了π是无理数)曾猜测自然常数e是超越数,但并未给出证明,这一结论的证明最后在1873年由法国数学家埃尔米特给出,证明长达30多页。

五、结语

数学的研究永无止境。历时五百年,自然常数e已经在数论、代数、分析等数学领域发挥了巨大作用,它的归宿在哪里?又将走向何方?完整的解答交给时间,但可以确定的是,自然常数e会变得越来越重要。

参考文献:

1. ELI MAOR.e的故事.人民邮电出版社.2012


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[责编:雨滴]

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