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世纪之交的数学领袖——德国数学家克莱因(上)

作者:luohaoyang888发布日期:2019-12-26 14:02浏览次数: 来源:新浪博客

菲利克斯?克莱因,德国数学家,一生在数学多个领域有重要贡献,他的主要课题是非欧几何、群论和函数论。他的将各种几何用它们的基础变换群来分类的爱尔兰根纲领(1872年在埃尔朗根大学就职正教授的演讲)的发表影响深远:是当时数学内容的一个综合。着作有《高观点下的初等数学》。

克莱因,F.(Klein,Felix)1849年4月25日生于德国的杜塞尔多夫;1925年6月22日卒于德国的格丁根.

菲利克斯?克莱因出身于德国的莱因地区普鲁士家庭.他的祖父是位铁匠,父亲是州长的私人秘书.母亲出身于亚琛工业资本家的家庭.1857年秋天,克莱因进入了天主教文科中学,受了8年的片面的文科教育,只是在他朋友的家里,他才开始接触到一些化学、植物学、动物学、天文学以及工业技术方面的初步知识1865年秋天进入波恩大学.第一年他听数学、物理学的课不多,主要听植物学,虽听过R.李普希茨(Lipschitz)的初等数学课程,但他贫乏的基础知识既不能使他理解数学,也引不起他对数学的兴趣.1866年复活节,他成为J.普吕克尔(Plücker)的助手,帮助他准备实验.普吕克尔原是一位数学家,因为受到J.施泰纳(Steiner)的排斥,转而研究实验物理学.普吕克尔使他对数学和物理学产生了兴趣.这时,普吕克尔又继续进行关于解析几何学的研究,继续自己先前的工作,力图把空间解析几何建立在以直线为元素的基础上,他正写他的《基于以直线为空间元素的新空间几何学》.克莱因积极协助这项工作,在工作过程中,逐步充实自己的知识.不久普吕克尔于1868年5月去世,这部着作只完成了第一卷.在普吕克尔的指导下,克莱因写了博士论文“线坐标的一般二次方程到典则形式的变换”,并于1868年12月12日获得了博士学位.

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1869年初,克莱因离开波恩前往格丁根,协助接替黎曼的A.克莱布什(Clebsch)整理普吕克尔的遗着,出版了他的《新空间几何学》第二卷.他在格丁根从克莱布什那里学到不变式论以及光学,并完成了他的一篇重要论文,发现一阶和二阶线性复形与库默尔(E.Kummer)曲面有关.当时的数学中心在柏林,于是克莱因在1869年8月底到柏林去.在这里,他结识了挪威来的S.李(Lie),两人成为终生密友.他还结识了从奥地利来的O.施托尔茨(Stolz),从他那里知道H.И.罗巴切夫斯基(ЛoбaчeBCKий)的非欧几何学.1870年2月,他在K.魏尔斯特拉斯(Weierstrass)的讨论班上,报告了A.凯莱(Cayley)关于射影距离的工作,并提出把凯莱的工作推广到非欧几何学上,但受到魏尔斯特拉斯的批评.1870年4月,克莱因和李结伴到巴黎,并在巴黎科学院的院报上发表了他们在柏林的合作论文.在这篇论文中,已经提出在某些变换下的不变性质,成为后来他们各自研究的出发点.李研究所谓连续变换群,而克莱因研究的却是离散变换群.在巴黎,李与克莱因见到了法国数学家C.若尔当(Jordan)和G.达布(Darboux)当时若尔当的《代换论及代数方程论》(Traitédessubstitutionsetdesequationsalgébriques,1870)刚刚出版,而达布也刚完成了反演几何学的研究,这对他们后来的研究有着深远的影响.不久,普法战争爆发,克莱因赶回德国报名参军,被编入波恩的急救团,参加了9月1日和2日在梅斯和色当的战役.由于传染上伤寒,被送回家,一直到11月中才康复,并于1871年元旦第二次来到格丁根.1月7日,他取得授课资格.在夏天同施托尔茨的多次讨论中,越来越明确非欧几何学是射影几何学的一部分,8月份发表“论所谓非欧几何学”的第一篇论文,但受到哲学家及数学家的攻击.这促使他更深入地研究几何学的基础.

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在克莱布什的推荐下,1872年10月他到埃朗根大学就任正教授,不久克莱布什病逝,他成了克莱布什的学术研究及组织工作的继承人.他把克莱布什的朋友及学生吸引到自己的周围,接替他的《数学年鉴》(MathematischeAnnalen)的编辑工作,协助编辑克莱布什的讲义.在大学评议会上他提出了着名的埃朗根纲领(ErlangerProgramm)即“新近几何学研究的比较考察”(Vergle-ichendeBetrachtangenüberneueregeometrischeForschungen),在埃朗根时期,克莱因教课范围仍然是几何学,但“碰到的学生数量极少以及毫无研究空气的环境”使他非常失望.不过与朋友及同事的交流大大扩大了他的眼界,他的研究工作也从几何学扩展到代数学、分析学,他与国外同行的交流也更加频繁起来.

1873年4月,克莱因决定到英国,参加英国科学促进协会召开的会议,为此,他学习英文.8月中旬,他经过汉堡和爱丁堡,到布拉德福德,在那里,克莱因不仅结识了他慕名已久的凯莱和J.J.西尔维斯特(Sylvegter),而且还结识了R.鲍尔(Ball)和W.K.克利福德(Clifford).鲍尔关于螺旋面的理论和克利福德的工作,对克莱因后来的工作有很大影响.会议期间,他第一次遇见伟大的英国物理学家C.麦克斯韦(Maxwell)和P.G.泰特(Tait),他对英国的数学物理学留下深刻的印象,后来,多次在德国加以介绍.

1874年,他又到意大利去旅行,先后见到L.克雷莫纳(Cre-mona)、E.贝尔特拉米(Beltrami)和E.贝蒂(Betti)等数学家,在埃朗根最后一个学期,P.哥尔丹(Gordan)来到埃朗根,与他结下终生的友谊.哥尔丹关于不变式论方面的研究,对他很有影响.克莱因到了慕尼黑以后,两个人还经常在星期天在埃朗根和慕尼黑的中间城市艾希施泰特相聚会,这对他们俩人关于代数方程的工作都有所促进.

1874年11月,克莱因被任命为慕尼黑工业大学教授,继承O.黑塞(Hesse)的职务,同时,达姆施塔特工业大学的A.布里尔(Brill)也被任命为该校教授.这是一个培养工程师和学院教师的学校,但是,德国的工业学院水平并不高,克莱因同布里尔一起,决心对工业学院的教学进行改革.1875年他在离开埃朗根之前同安娜?黑格尔(AnnaHegel)结婚.她是大哲学家G.W.黑格尔的孙女,她的父亲是埃朗根大学历史学教授.克莱因夫妇共有一子三女.图三.jpg

克莱因在慕尼黑的研究工作先是代数方程,接着是椭圆模函数理论.他独立于R.戴德金(Dedekind)引进模函数J(τ),克莱因是从椭圆积分引进,并称之为绝对不变量.在这期间,他还研究黎曼的着作,并对拓扑学作出贡献.他认为这段时期是他最快乐、数学上最富创造性的时期.于此同时他培养出一些他最好的学生.


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