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从库恩先生的盆栽技术谈起——趣话“不动点定理”

作者:《古今数学趣话》发布日期:2021-09-05 18:01浏览次数: 来源:书籍整理

在1976年的一次国际数学会议上,美国普林斯顿大学的哈德罗·库恩教授宣读了一篇奇特的论文。大家知道,n次方程在复数范围内有n个根,但除n=2及少数特例外,要找出n个复数根是非常困难的。你想解一个复数系数的n次方程

从库恩先生的盆栽技术谈起——趣话“不动点定理”

吗?那么,请你看看库恩先生的表演吧:他准备了一个培养皿和一个立体大篱笆,篱笆越往上越密。然后把你要解的方程的信息“告诉”培养皿。皿内吐出几个新芽,芽变成藤,飞快地攀上篱笆,一层一层往上穿。最后,每根藤恰好指向方程的一个根,于是方程的n个根就被找出来了(图1)。

从库恩先生的盆栽技术谈起——趣话“不动点定理”

图1

与会者无不目瞪口呆,惊奇万分。植物竟会解方程,而且是很难解的方程!是在变魔术吗?不是的!任何高明的魔术师只能变出他事先“知道”(暗中准备好了)的东西,决不可能变出他事先不知道的东西。这也不是神话,恰恰相反,这是科学。这奇迹是怎样创造出来的呢?原来库恩先生运用了现代数学中一个极为重要的定理,这就是拓扑学中着名的“不动点定理”。

神奇的一点

我们先从一个有趣的问题谈起。某学生进城,早晨六点从家里出发,下午六点到达。第二天沿原路返回,早晨六点离城,下午六点到家。他对老师谈了上述经过,老师告诉他:“你知道吗?途中有一个地点,你昨天进城和今天回来经过那个地方时,所用的时间完全相同。”学生说:“没有这么巧的事吧?我在路上走得时快时慢,有时还停下来休息、吃东西,两次经过某地的时间怎么可能完全相同呢?”老师说:“不是不可能,而是肯定有这一点,虽说我不知道它到底在哪里。”究竟是谁正确呢?

看起来,学生理由充足,振振有词;而老师既然“肯定”有这一点,又“不知道”这点在哪里,似乎自相矛盾。其实,老师是正确的。道理很简单,设想进城和回家发生在同一天——学生离家往城走,而学生的“替身”则同时离城回家(途中经过情况与学生回家完全相同),那么两人必定在路上某地相遇,进城和回家经过这相遇点的时间不是完全相同了吗?所以老师是正确的。

这个有趣的问题给着名的“拓扑不动点定理”提供了一个极为生动简明的例证。

变换与不动点

高中学生都知道:A、B两个集合,如果按某种对应关系,使A的任何元素在B中仅有唯一的元素和它对应,这样的对应关系称为从A到B的单值对应,也叫映射或变换。如果A的某元素通过某种变换,仍变为自己,我们就说这个元素是该变换下的一个不动点。

函数关系g(x)就是从一个集合A(定义域)到另一个集合B(值域)的一个变换。如果g(x1)=x1,即x1通过变换g后仍变为自己,x1就是函数g(x)的一个不动点。所以要找函数的不动点,只需找出满足关系g(x)=x的x值就行了。如g(x)=x^2-2,由x^2-2=x得x^2-x-2=0,即(x+1)(x-2)=0,求出x1=-1,x2=2。所以g(x)=x^2-2有两个不动点:-1和2。它们满足g(-1)=-1,g(2)=2。

变换不一定限于数的对应关系。向量、矩阵、行列式、几何图形甚至时间和空间都可以作为元素进行变换。那么,各种变换下不动点是否存在?有何特点和用途?这是现代数学各领域内极有价值而且引人入胜的课题。

拓扑学与拓扑变换

拓扑学是几何的一个分支。现代几何学门类繁多,按什么原则来分门别类呢?原先,人们着重于它们的基础结构——公理系统,将其分成欧几里得几何、罗巴切夫斯基几何……另一位德国数学家克莱因从几何的研究对象出发,给了几何学一个新的定义:几何学是研究图形在各种变换群下不变性质的一门科学。例如研究刚体运动变换群下不变性质的几何通常称为“初等几何”(包括欧几里得几何、罗巴切夫斯基几何和黎曼几何);研究仿射变换群下不变性质的几何称为“仿射几何”。还有“射影几何”、“保角几何”、“连续几何”等等。

连续几何又称“拓扑学”(Topology),是研究一对一连续变换(拓扑变换)下不变性质的几何。本世纪以来,拓扑学发展很快,吸引了许多数学家的兴趣,我国着名数学家吴文俊教授、江泽涵教授等在拓扑学研究方面作出了许多重大贡献。

什么是拓扑变换呢?一个橡皮筋做的圆,可以把它拉成大圆,可以压缩成小圆,还可以拉成椭圆、三角形、矩形或任意形状的封闭曲线(但是不能拉断,也不能扭成∞字形,因为断开或两点贴在一起将改变曲线上各点之间一一对应的连续变换关系),这就是拓扑变换。在拓扑变换下,三角形、矩形、椭圆以及一切自身不相交的简单封闭曲线均可看作“相同”(称为“拓扑等价”或“同胚”)。这里,简单封闭曲线是拓扑变换下的不变性质,而长度、夹角、面积、体积在这里都没有意义,也就不是拓扑学研究的内容了。

从库恩先生的盆栽技术谈起——趣话“不动点定理”

图2

再看看球面,在拓扑变换下,如同民间艺人吹糖葫芦,可以吹成各种形状,但是绝不能吹成救生圈一样的圆环,因为环面和球面不是拓扑等价的,它们有不同的拓扑性质。比如在球面上任何一条闭曲线都可以将球面分成互不相连的两部分,而环面则无此性质。在图2中,沿C或D切开,环面都不分为两部。

拓扑不动点定理

1912年,荷兰数学家布劳维证明:任意一个把n维球体映入自己的连续映象(即拓扑变换)至少有一个不动点。这就是着名的拓扑不动点定理。

我们知道,直线是一维空间,平面是二维空间,普通空间是三维空间,而四维、五维以至n维空间就很抽象了(抽象是数学的一大特点,因为越抽象就越有普遍性)。因此,一维球体就是直线上的线段,二维球体是平面上的圆形区域,三维球体则是通常所说的球……

前面谈到的学生进城路线便可看成一维球体(拓扑学里的线不分曲、直)。如果进城经过A点与回家经过B点的时间相同,我们就说A点与B点对应,这种对应关系显然是把此线段变换成了自己——即是把一维球体映入自己的连续映象。按照布劳维定理,这个变换至少有一个不动点,就是学生与“替身”相遇的地方。

布劳维定理的严格证明是很抽象、很艰深的。我们已经对一维球体举出了有趣的例证,下面再举一个二维球体的有趣例证:

取一个浅纸盒与一张纸,这张纸恰好能盖住盒的底面。此时,纸上每个点正好与它下面盒底上的点一一对应。把纸拿起来随便揉成一个小纸球,再把小纸球扔进盒里(图3)。不动点定理说:不管小纸球是怎样揉的,也不管它落在盒底什么地方,揉成小纸球的纸上至少有一个这样的点,它恰好处在盒底原来与它对应的点的正上方。就是说,此点经过拓扑变换后仍变为自己,它是一个“不动点”。

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图3

我们可以给出浅显的证明:小纸球在盒底的水平投影为区域A,显然,原纸片上和A域内某点相对应的点一定在A的上方。纸球上原先盖在盒底区域A上的那一部分纸片,被随意卷成纸球的一小部分A1',设A1'在盒底的水平投影为区域A1(图3),显然有A1>A2>…>An>…这些区域必然一个比一个小(否则,如果有Ai=A(i+1),即小纸球上有一片与盒底上一片重合,定理显然得证),最后必然缩小到“一点”,这一点就是定理所断言存在的“不动点”。                    

这个证明方法我们不妨称为“缩小包围圈”,即把点所在范围越缩越小,最后此点便无可逃遁了。

奇妙的应用

不动点定理问世以来,引起科学家的极大兴趣,它有着广泛而奇妙的应用。在数学中,很多问题的求解可以作为相应的不动点来处理。例如求方程f(x)=0的根,就可以化为求变换g(x)=f(x)+x的不动点x0,因为它既满足g(x0)=x0,又适合g(x0)=f(x0)+ x0,于是就有f(x0)=0,所以x0是方程的根。我们知道,方程

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在复数范围内几个根的计算一般相当困难。1967年,赫伯特·斯卡弗提出一种不动点方法,作为一种有效的计算方法,取得一系列成果。前面提到的库恩教授的“神奇”植物,便是根据这种方法设计的模型。我们看看这个模型是怎样设计出来的呢?这个立体大篱笆是把一系列复数平面C-1、C0、C1、C2……像盖楼房那样一层层地排好(图4),在每个平面上划线,全部剖分成三角形,称为三角剖分(图4)。每上一层,三角形的边缩小一半(面积缩小四分之三)。相邻两层间用竖的或斜的“钢筋”把层中的空间全部分成四面体,留下这些“钢筋”架,便成了越往上越密的大篱笆。当你把给定方程的信息传达后,培养皿内n根藤按指定规则绕篱笆一层层往上穿。因为三角形面积越往上越小(无限减小到接近于零),于是每根藤恰好指向方程的一个复数根。这正是用“缩小包围圈”的方法寻找不动点的又一个例子。

从库恩先生的盆栽技术谈起——趣话“不动点定理”

图4

不动点定理的有趣应用还多着呢!根据这个定理可以断言:在任一时刻,地球上至少有一个地点没有风。用它还可以证明:如果一个球面完全被毛发覆盖,则无论如何也不能把毛发梳平,但有趣的是却可以把覆盖在整个圆环面上的毛发梳平。


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[责编:云峰]

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