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不可绕开的点

作者:《数学美拾趣》发布日期:2019-12-13 14:06浏览次数: 来源:书籍整理

帕特沿着一条通往山顶的小路徒步向上走,他早上7点出发,当天晚上7点到达山顶。

图一.jpg

在山顶冥想了一夜,第二天早上7点他开始沿原路下山。

晚上7点他到达了山脚下,碰巧遇到了他的拓扑学老师,克莱茵夫人。

克莱茵:你好,帕特!今天你下山时与你昨天上山时在同一时间经过了某一点,你知道吗?

帕特:你在跟我开玩笑吧,不可能的事!我走的速度不一样,而且中间还停下来休息和吃东西呢!

但是克莱茵女士是正确的。

克莱茵:假设有另外一个你,在你上山时的同时刻他开始下山。不管你们两个的进程如何,你们两个总会在小路的某个点相遇。

克莱茵:我们说不出你们具体在哪里相遇,但可以肯定会有这么一点。你和另外一个你会同时到达那个点。因此,在小路上肯定存在这么一点,就是你在上山、下山时会在同一刻经过的那一点。

如果我们把帕特经过的小路上的每一点所对应的上山与下山的时间配对,我们会得到一对相一致的时间。至少其中的一对时间是一样的。因此,帕特的这个故事为拓扑学上的“不动点定理”提供了一个很简单的例证。“不动点定理”的证明是“存在性的证明”。它只能证明存在一个不动点,并不能帮助我们找到这个不动点的位置。不动点定理对于拓扑学应用于数学和其他各门科学时起着极其重要的作用。

用一个浅盒子及一张纸,纸正好覆盖盒子底部,来演示不动点定理。想象一下,纸上的每一点正下方都有一个位于盒子底部的一点与之对应。拿起这张纸将它攥成球并扔回盒子里。拓扑学家已证明,不论纸被攥成什么样,也不论纸球落到盒子里的什么位置,纸球上肯定至少存在一点,这一点恰好处在它与盒底原来对应点的正上方。请参阅R·柯朗和H·罗宾着的《什么是数学?》一书中的“不动点定理”一节。

图二.jpg

这个定理首先是由荷兰数学家LE·J布劳维于1912年证明,它有许多奇妙的应用。例如,他提出在任何一刻,地球上至少有一点没有风。同样它可以证明:地球上总是至少存在两个对跖点(由通过地球中心的直线相连结的两个点),它们拥有同样的温度和气压。用类似的定理可以证明如果一个球面被毛发完全覆盖,那么把毛发梳平是不可能的(在油炸圈饼上是可以做到的)。要想更好地了解关于此类定理的说明,请参阅1966年1月《科学美国人》杂志刊登的马文·辛布洛特(Marvin Shinbrot)的“不动点定理”。


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[责编:大鱼]

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