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不量尺寸的几何——拓扑(一)

作者:数学经纬网发布日期:2019-10-18 17:19浏览次数: 来源:微信公众号

几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支,它属于几何学的范畴。有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。那时候发现的一些孤立的问题,后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。

 (一)哥尼斯堡的难题

在数学上,关于哥尼斯城堡的七座桥的问题就是一个生动的例子。

什么是哥尼斯城堡问题呢?哥尼斯城堡是东普鲁士的一个地方,十八世纪在这个城堡的河上建有七座桥,如下图一表示的那样,它们把河的两岸和河中的两个小岛互相连结起来。


不量尺寸的几何——拓扑(一)

图一 七桥问题

 当时有人提出这样一个问题:一个人每座桥只许走过一次,怎样才能走遍这七座桥,最后又回到原来的出发点?这个问题乍看起来好象很简单,但是谁也没有做到,因此,要得出一个明确的理想的答案却并不那么容易。

 这个问题后来被数学家欧勒知道了,欧勒经过反复思考,用一个独特的方法证明了这个问题是不能实现的。欧勒把这个问题化做这样一个数学题:如果把岛记作A,把河的左岸记作B,右岸记作C,上游两条支流之间的陆地记作D,(如下图二所示),怎样一笔画出如右图组成的七条线组成的图?

不量尺寸的几何——拓扑(一)

图二

 欧勒指出,不论以哪一点作为起点,以哪一点作为终点,在点A、B、C、D中至少有两个点是中途点,每穿过一次这样的点,就要画一条进入的线和一条离开的线。现在图中每个点处有三条或五条线(每个点叫奇点),所以总要留下一条线没有画到。因此他断言要从一点出发而不重复地走遍七座桥又回到原出发点是不可能的。并且明确指出,在出发点和终点是同一点的情况下,要达到上述目的,图形上的点必须都是偶点(每个点都有偶数条出发线)才可以。

 (二)正十面体存在吗?

在拓扑学发展的历史中,关于多面体的欧勒定理也是一个着名而重要的问题。定理的内容是这样的;取一个多面体,设V表示它的顶点数目,E表示棱的数目,F表示面的数目,那么,V、E、F之间就有如下的关系:

F+V-E=2

 根据欧勒定理又可以证明这样一个有趣的事实。在我们的生活中只存在五种正多面体。这五种正多面体是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。下面图三就是这五种正多面体。

不量尺寸的几何——拓扑(一)

图三

现在,你知道正十面体为什么不存在了吧。

 (三)给我四种颜色,我能染出全世界

着名的“四色问题”也是和拓扑学发展有关的问题。所谓四色问题,就是在平面上给出了一幅地图,如果它上面的每一个国家都用一定的颜料染了色,而且任何两个相邻国家染的颜色都不相同,那么就说是把地图正确地染了色。问题是每一幅地图最少要用几种颜色才能正确地染色昵?

 经过多次实践,人们发现在地图上不管画出多少国家,也不管这些国家的座落情况是怎样的,我们都可以用四种不同的颜料正确地染上色。直到现在,还没有找到一幅用四种颜料不能正确染色的地图。1850年,数学家就提出“四色足够”的猜想。但是,这个问题,要从数学上加以证明却很不容易。这个“四色猜想”曾被一些着名的数学家轻视,认为不屑于去证明。但是,一百多年来,谁也没有能够给出证明。因此,“四色猜想”成了一道难题。

 1976年,美国两位数学家用电子计算机,花了1200个小时,终于证明了“四色问题”。

 上面这几个例子所讲的都是一些有关几何图形的问题,而这些几何问题又和已经研究过的几何学不同,而是一些新的几何概念。人们常把上面这些例子叫做“拓扑学”的先声。


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[责编:大鱼]

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