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拓扑变换有些什么性质呢?图形在拓扑变换下有哪些性质保持不变呢?这就是拓扑学所要研究的内容。也就是说，拓扑学是研究几何图形在拓扑变换下拓扑不变性和不变量的学科。拓扑不变性和不变量也叫做拓扑性质。

下面，就让我们具体看看拓扑性质有哪些？

（一）拓扑等价

首先我们介绍拓扑等价，这是比较容易理解的一个拓扑性质。

在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念,但是讨论拓扑等份的概念。比如，尽管圆和正方形、三角形的形状、大小不同,在拓扑变换下,圆和正方形、三角形都是等价图形。

在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就被这些线分成许多块。在拓扑变换下,点、线、块的数目仍和原来的数目一样,这就是拓扑等价。一般地说，对于任意形状的闭曲面,只要不把曲面撕裂或割破,它的变换就是拓扑变换,就存在拓扑等价。

应该指出。环面不具有这个性质,比如,象图六那样,把环面切开,它不至于分成许多块,只是变成一个弯曲的圆简形，对于这种情况,我们就说球面不能拓扑地变成环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。

图一

（二）点、线的结合关系、顺序关系

直线上的点和线的结合关系、顺序关系,在拓扑变换下不变,这也是拓扑性质。

图二

上面这组图一共有三对,分上中下来叙述。拿上面(1)这对来说,如果点P是l线上的一点，那么经过拓扑变换后，P的象P'仍是l的象l’上的一点。

中间(2)这对图说明，如果A、B、C是1线上有顺序的三点,经过拓扑变换后，它们的象A'、B'、C'在l’上仍具有相同的顺序。

下面(3)这对图表示,如果l1和l2相交于D点,经过拓扑变换后, l1和l2的象l1’和l2’仍相交于D点的象D'。

在拓扑学中还有一个重要概念，就是M连通的概念。如下图九所示，P、Q两点是区域M中的任意两点,如果连接成通道，这个区城就叫做连通域。

图三

（三）闭合的曲线、曲面

在拓扑学中曲线或曲面的闭合性质也是拓扑性质。例如下图十所示,设线段的点的集合是I,从I经过连续变换f变成曲线f(I),设它的两个端点f(0)=P,f(1)=Q,这条曲线就叫做P和Q的通道。如果对于两个端点0、1经过变换f后，变成f(0)=f(1),就叫做闭曲线。

图四

如果D是平面M上的一个圆周上的点的全体(如下图十一所示),D把平面M上的点分成三类，一类在D内,一类在D上,一类在D外;经过拉、抻后,M变成M',D变成平面M'上的一条曲线D'。D'也把M'上的点分成三类:一类在D'内,一类在D'上,一类在D'外。并且在D内、上、外的点经拉抻后仍然是在D'内、上、外的点。D内的点连成一片，D'内的点也连成一片。就是说“内”、“外”、“连成一片”等关系在拓扑变换下都是不变的。象D'一类的曲线叫做平面上的约当曲线。

图五

在曲面上引闭曲线，把不能把曲面分割成不连结的部分的最大数叫做这个曲面的连通阶。比如,对于球面来说,连通阶就等于零。也就是说，任何闭曲线在球面上都能把球面分成不同的部分。在一个轮环面上可以找到两条闭曲线，而这两条闭曲线又没有把轮环面分成两部分，所以轮环面的连通阶就是2。看一看下边这张图图十二就清楚了。图中是一个有两个洞的曲面，也就是轮环面，在这个曲面上可以引两条不相交的闭曲线A和B,A和B并没有分割曲面成不同部分,所以连通阶是2。

图六

从连通阶也可以证明球面和轮环面虽然都是曲面，但是它们属于不同的拓扑构造。

上面所讲的曲面通常是指有两个面的曲面，就象一张纸有两个面一样。但是有的曲面却只有一个面。如下面这张图图十三表示的那样，把左边(1)这个面扭转一下，让标有1、2的一端对应于标有4、3的一端，象中间(2)图那样,把它粘合起来，就得到右边(3)图。

图七

右边的曲面就只有一个面,叫做莫比乌斯(德国数学家，1790-1868)曲面。这种曲面就不能区分两面。比如，我们就不能用不同的颜色来涂满两个侧面。做一个有趣的实验就可以看出这种曲面只有一个面。下图十四中的曲面有一条中线,沿着这条中线运行,从E点开始运行一圈,虽然没有经过它的边界，但是运行一圈后,回到的地方已经不是原来出发的那一面了。这种曲面的“表"“里”无从分别,只有一面，因此叫做单面曲面。

图八

（四）有方向的曲面

在拓扑学中,关于曲面的定向也是个拓扑的不变性质，也就是说可定向的曲面不能等价于不可定向的曲面。

拓扑变换的不变性很多，这里不再介绍了。现在我们谈谈拓扑变换的不变量。

前面我们曾经提到多面体的一个重要性质，就是欧勒定理

F+V-E=2

这个公式是拓扑学中一个普遍适用的公式。这个公式只是涉及到多面体的面、顶点、棱的数目,并不涉及到棱的长度和面的大小。

公式中的三个量F、V和E虽然不是同类量,但是运算结果却恒等于一个常量2。这个数在拓扑学中叫做欧勒示性数。

欧勒示性数就是拓扑变换的不变量。

例如不论怎样分割一球面，欧勒示性数不变。如图十五，把一个球面分成四个不同的三角形ABC、ABD，ACD、BCD。这样，就有六条不同的边AB、BC、CD、AC、AD、BD,有四个不同的顶点A、B、C、D,所以F=4,V=4，E=6,所以F+V-E=2。

图九

（五）同胚

同胚也是拓扑学中的一个重要概念。什么叫同胚呢？如果一个映射f是拓扑映射，那么集合M和它的象f(M)就叫做同胚。

寻求判定拓扑空间M和N是否是同胚的一般方法,也是拓扑学的重要内容。当拓扑空间M和M'同胚的时候，如果M连通,那么M'也连通。

同胚的拓扑空间连通性一定成立的性质也是拓扑的不变性。

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[责编：大鱼]

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