关注数学发展弘扬科学精神

关注数学发展,弘扬科学精神,专注数学科普

您的位置:主页 > 数学科普 > 不量尺寸的几何——拓扑(二)

不量尺寸的几何——拓扑(二)

作者:数学经纬网发布日期:2019-10-18 17:23浏览次数: 来源:微信公众号

一说到几何,大家就会想到长度、角度、面积等等度量单位。拓扑学是几何的一个分支,但是在这门神奇学科里面,却丝毫不涉及尺寸的度量。

 (一)何谓拓扑学?

拓扑学的英文名是Topology,直译的意思是地志学,也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科。我国早期曾翻译成“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一的连续变换群下的几.何学”,但是,这几种译名都不大好理解,有的又很长,1956年,统一的《数学名词》把它确定成拓扑学,是按Topology的译音来确定的。

 拓扑学是几何学的一个分支,但是这种几何学又和通常的“平面几何”、“立体几何”不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的相关位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。

不量尺寸的几何——拓扑(二)

图一

 举例来说,在通常的平面几何里,把平面上的一个图形搬到另一个图形上,如果完全重合,那么这两个图形叫做全等形,也就是说,通常的平面几何悬研究在运动中大小和形状都不变的学科。但是,在拓扑学里所研究的图形,在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素,每一个图形的大小、形状都可以改变。例如象前面所讲的,欧勒在解决哥尼斯堡七座桥问题的时候,他画的图形就不考虑它的大小、形状,仅考虑点和线的个数。这些就是拓扑学思考问题的出发点。

 (二)神奇的拓扑图形

在拓扑学里,几何图形是怎样变化的呢?现在我们设想把一个圆画在一块橡皮膜上,就象图三左边的(1)图那样,如果把这块橡皮膜拉抻,膜上的圆就可能变化成如图三右边的(2)(3)两个图那样,圆的大小和形状都和左边的圆不同了。但是不管怎样拉伸橡皮膜,只要不把橡皮膜拉断、折裂或者重叠,图形中只有一条通路ABCDA。也就是如果从通道上任一点出发,都可以回到原出发点。

不量尺寸的几何——拓扑(二)

图二

 根据上面的图,我们可以设想,如果在一块橡皮膜上画一个圆O,然后把橡皮膜扭歪拉神,压缩,但是不要折断,也不要重叠,这时候圆O就可能变成一个歪歪扭扭的图形F。圆O和图形F的大小、形状都不相同,但是圆O上的每一个点都变成图形F上的一个点,不会一个点变成两个点,也不会两个点变成一个点,这就叫做一一对应。圆O上两个非常接近的点A、B,变成图形F上的两个点A1、B1,它们也非常接近。反过来,图形F上任意两个很接近的点,原来在圆O上也很接近。这种性质叫做双方连续变换

 (三)拓扑变换知多少?

凡是一一对应而且是双方连续的变换就叫做拓扑变换。关于双方连续变换也可以理解成在变换中不破坏图形各部分的“附贴”关系。也就是说,如果图形经过连续变换后,“附贴”关系没有被破坏,并且也没有增添新的“附贴"关系,这种变换就叫做拓扑变换

不量尺寸的几何——拓扑(二)

图三

 举例来说,看一下下面图四这两组图形,它们各是一个团合曲线,经过拓扑变换后,由于变换中没有破坏它的“附贴”关系,所以这两组图形就各自可以作为拓扑变换而相互变换。

不量尺寸的几何——拓扑(二)

图四

 上图中这组图形是一个圆面、一个环面和8字形的曲线,这种图形的变换就不是拓扑变换了。

 这次,你懂了吗?


(声明:本文仅代表作者观点,不代表本站观点,仅做陈列之用)

[责编:大鱼]

郑重声明:本文版权归原作者所有,转载文章仅为传播更多信息之目的,如作者信息标记有误,请第一时间联系我们修改或删除,多谢。

欢迎扫描关注我们的微信公众平台!

欢迎扫描关注我们的微信公众平台!