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割之弥细，所失弥少。割之又制，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣。/中国古代的微积分思想：割圆术！

刘徽（约225-295）

“割圆术是刘徽创造的运用极限思想证明圆面积公式及计算圆周率的方法。”——摘自《中国大百科全书》数学卷

“敢下阙疑，以待能言者。”——刘徽

刘徽是中国数学家，魏晋时代人。籍贯、生卒年月不详，有的资料说他是现今山东临淄或淄川一代的人，约生于225年左右，卒于295年左右。

中国古代数学史书，传下来的主要有10种，称为“算经十书”。其中最重要的一种是《九章算术》，全书共有九章：(1)方田，主要讲分数四则算法和平面图形的面积算法；(2)粟米，主要讲粮食的交换计算；(3)衰分，主要讲配分比例和等差、等比数列等问题；(4)少广，主要讲从田亩(平面图形)，或球的体积，求出边长或径长的算法，其中讲到了多位数开平方、开立方的方法；(5)商功，讲各种立体的体积计算；(6)均输，处理粮食运输，均匀负担等问题；(7)盈不足，讲盈亏类问题的解法，其中使用了“盈不足术”，实际上就是现在的线性插值法；(8)方程，主要讲解联立一次方程(线性方程组)；(9)勾股，讲勾股定理的应用和简单测量问题的解法。以《九章算术》为代表的中国古代传统数学与欧几里得《几何原本》为代表的西方数学，代表着两种迥然不同的体系。《九章算术》着重应用和计算，其成果往往以算法形式表达。《几何原本》着重概念与推理，其成果以定理形式表达。从而形成东西辉映，大相径庭的两部数学名着。

割圆术

刘徽在数学上的主要成就之一，是为《九章算术》做了注释，书名叫《九章算术注》，此书于魏景元4年(公元263年)成书，共9卷，现在有传本可据，是我国最可贵的数学遗产之一。刘徽的《九章算术注》整理了《九章算术》中各种解题方法的思想体系，旁征博引，纠正了其中某些错误，提高了《九章算术》的学术水平；他善于用文字讲清道理，用图形说明问题，便于读者学习、理解、掌握；而且，在他的注释中提出了很多独到的见解。例如，他创造了用“割圆术”来计算圆周率的方法，从而开创了我国数学发展中圆周率研究的新纪元。他从圆的内接正六边形算起，依次将边数加倍，一直算到内接正192边形的面积，从而得到圆周率π的近似值为157/50=3.14，后人为了纪念刘徽，称这个数值为“微率”。以后他又算到圆内接正3072边形的面积，从而得到圆周率π的近似值为3927/1250=3.1416。外国关于π取值3.1416的记载最早是印度的阿利耶毗陀(Aryabhato)，但他比刘徽晚200多年，比祖冲之晚半个世纪。如果设圆的半径为r，内接正n边形一边长为l_n，边数加倍后2n边形一边之长为l_2n，那么刘徽由l_n计算l_2n的运算可以归纳为下面公式：

刘微认为如此增加圆内接正多边形的边数：“割之弥细，所失弥少。割之又制，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣。”这里他已把极限的思想应用于近似值的计算，他的方法除了缺少极限表达式外，与现代方法相差无几。他的割圆术只需要计算内接多边形而不需要计算外切多边形，这与阿基米德的方法比较可以说是事半功倍。此外他的极限思想还反映在“少广”章开方术的注释中，以及“商功”章棱锥体体积的计算的注释中。例如，在棱锥体的研究中，他把立方体进行分解，以求棱锥的体积，“若为数以无穷之。置余高袤、广之数各半之，则四分之三又可知也。半之弥少，其细弥细，至细曰微，微则无形。由是言之，安取余哉？”就是逐次分割棱锥体，并求出它们的体积，分割到无穷次，问题就解决了。刘徽堪称中国第一个创造性地把极限观念运用于数学的人，而且运用得相当自如。

体积计算

刘徽还发现了一条体积计算的定律：“由正方形与其内切圆的面积之比为4:π，推得正方台(锥)与其内切圆台(锥)的体积之比也是4:π。”

刘徽研究了曲面体体积，尤其是曲体体积的求法。他指出，在一立方体中作两内切圆柱体，其交叉部分形成的特异曲体体积的确定乃是求曲体体积的关键。他经过周密的思考，虽未能解决，但他采取了严肃的态度，决定把它留给后人。他说：“敢下阙疑，以待能言者。”刘徽的敏锐观察被继承下来，到5世纪时，终于被祖暅圆满地解决了，祖暅获得了一个普遍原理：“幂势既同，则积不容异。”后来卡瓦列利也发现了这个原理，因此又称此原理为“卡瓦列利原理”。

其他贡献

刘徽在“方程”章的注释中对二元一次方程组创立了互乘相消法。在“盈不足”章的注释中建立了一个等差级数求和公式。

刘微还推广了陈子(公元前六、七世纪的中国数学家)的测日法，撰写了《重差》和《九章重差图》，其内容是对汉代天文学家测量太阳高度和距离方法的论述，这是一部运用几何知识测量远处目标的高、远、深、广的数学着作。唐初时，《九章重差图》失传，现仅存(重差)一册卷。因其所论第一标题是测量海岛的高度和距离等问题，所以又名《海岛算经》。

刘徽主张用十进分数来表无理的立方根近似值。

刘徽是中国古典数学理论的奠基人之一，他的着作堪称中国传统数学理论的精华。

他的严谨与求真精神，就让后人接力吧！

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