关注数学发展,弘扬科学精神,专注数学科普

爱因斯坦把人类思维带到一个类似魔幻的场景。在那个环境下，时间可以倒流，空间是弯曲的，人类可以到远离自己有几万光年跨度的地方旅行。而这些突破常人思维的推论，可以说基本源于非欧几何。

一、非欧几何的诞生

欧几里得的《几何原本》提出了五条公设，前面已经介绍过了。在这里，我们特别提出第五公设。如下图所示，直线a、b被直线c所截，在截线一侧的；两个同侧内角∠a+∠β<180°，那么直线a、b在向右侧无限延长一定会相交。一些数学家后来证明了这条公设和“过已知直线外的一个已知点只能作一条直线和已知直线平行”实际上是等价的命题。

长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设相比，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。有些数学家还特别注意到欧几里得在《几何原本》一书中迟迟地到了第二十九个命题中才用到，而且此后再也不用了。这也就是说，在欧几里得的《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。因此，一些数学家提出：第五公设能不能不作为公设而作为定理？能不能依靠其他公设和命题来证明第五公设？这就是几何发展史上最着名的长达两千年的关于“平行线理论”的讨论。

几何原本

在这漫长的讨论过程中，虽然耗费了许多数学家的精力，但是一直没有取得任何的结果。有些数学家在证明第五公设的时候，使用的论据实际上都是在假定第五公设成立的前提下才成立的。如果第五公设不成立，那么这些定理也不成立。因此，这些数学家在证明第五公设的时候，就犯了逻辑上循环论证的错误。

由于证明第五公设的问题始终没有解决，人们逐渐怀疑证明的路子走得对不对：第五公设到底能不能证明？

到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他放弃了欧氏平行公理而提出了一个和欧氏平行公理相矛盾的命题：“过不在已知直线上的一点，可以引不止一条而至少是两条直线和已知直线平行”，他用这个命题来代替第五公设，然后把欧几里得的其它公

罗巴切夫斯基

设、公理、定义以及跟第五公设没有关系的定理（比如前26个定理）作为一个公理系统展开一系列的逻辑推理。他认为如果这个系统中出现矛盾，这就等于用反证法证明了第五公设。但是他在极为深入细致地进行推理的过程中，得出了一个一个在逻辑上毫无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个极为重要的结论：

第一，第五公设不能证明；

第二，在新的公理系统中展开的一连串的推理，得到的一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，形成了新的理论。这个新的理论象欧氏几何一样是完善的、严密的几何学。

这种几何学被叫做罗巴切夫斯基几何，简称做罗氏几何，属于人们通称的非欧几里得几何的一种。

从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。

几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时匈牙利的鲍耶·雅诺什（1802-1860），也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存在。鲍耶在研究非欧几何学的过程中，他也遭到了家庭、社会的冷漠对待，他的父亲鲍耶·法尔卡什（1775-1856）是一个数学家，认为研究第五公设是耗费精力劳而无功的蠢事，劝他放弃这种研究。但是鲍耶·雅诺什坚持为发展新的几何而辛勤地工作，终于在1882年，在他父亲的一本着作里，以附录的方式发表了研究结果。

高斯

那个时代被誉为“数学王子"的高斯也发现第五公设不能证明，并且研究了非欧几何。但是，高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害，一直不敢公开发表自已的研究成果，只是在书信中给自己的朋友表示了自已的看法，也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们的新理论。

二、罗氏几何与黎曼几何

非欧几何学是一门大的数学分支，一般来说，它有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义是泛指一切和欧几里得几何不同的几何学，狭义的非欧几何只是就罗氏几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗氏几何和黎氏几何这两种几何。

不同的几何

罗氏几何学的公理系统和欧氏几何学不同的地方仅仅是把欧氏平行公理用“从直线外一点，至少可以作两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理绝大部分相同。由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧几里得几何内容不同的新的几何命题。两条直线或者相交或者平行。如果平行，它们在一侧渐近地逼近，而在另一侧则无限地分离。

同一直线的两条垂线，它们是离散的。

三角形两边中点的连线常和底边是离散的。

三角形各内角之和总小于两个直角，而且不同的三角形有不同的内角和。

任何凸四边形的内角和小于四个直角，因此，不存在矩形。

三角形面积和两直角跟它的内角和的差成正比。如果以S（△）表示三角形的面积，以a、b、c分别表示三角形的三个内角，那么

S（△）=K（Π-a-b-c）。

这里，Π-a-b-c叫做“亏损”。可以看到，三角形内角和对x的亏损因它的面积增大而增大。

另一方面，我们知道，罗氏几何除了一个平行公理之外采用了欧氏几何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧氏几何中如果是正确的，在罗氏几何中也同样是正确的。在欧氏几何中，凡涉及到平行公理的命题，在罗氏几何中都不成立，它们都相应地含有新的意义。

罗氏几何中的一些几何事实没有象欧氏几何那样容易被人们接受。但是，数学家们经过研究，提出可以用我们习惯的欧氏几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗氏几何是正确的。

德国数学家克莱因（1849-1925）就提出了一个简单的模型，他的主要想法是，利用欧氏几何中的元素，然后对其中某些元素给予新的约定，并说明它们之间的关系。因为这种几何只是用另外的观点和字眼来描述通常的欧氏几何中的元素，因此，它和欧氏几何一样是正确的。

克莱因

克莱因的罗氏几何模型是：在普通的欧氏平面上取一个圆，而且只考虑圆的内部。我们约定把圆的这个内部叫做“平面”（它起着罗氏平面的作用，圆内的点叫做罗氏点）。把圆的弦叫做“罗氏直线”（弦和圆周的交点除外）。此外，连接这平面上两点的“直线”以及求两条“直线”的交点那么就和欧氏几何中的情形相同。下面这个图就能说明这个模型。通过已知点A而且不和巳知弦BC相交的弦至少有两条（比如过B和C的两条弦。因为规定把弦和B9圆的交点除外，所以它们和BC没有交点），这和罗氏平行公理“过不在已知直线上的一点至少可以引两条直线不与已知直线相交。”是一致的。

黎氏几何是德国数学家黎曼（1826-1866）创立的。他在1851年所作的一篇论文“论几何学作为基础的假设”中明确提出另一种几何学的存在，开创了几何学的另一片广阔的领域。后来就叫做黎曼几何学，也叫黎氏几何学。

黎曼

我们知道，欧氏几何、罗氏几何中关于结合公理、顺序公现、连续公理以及合同公理都是相同的，只是平行公理不一致。欧氏几何的平行公理是“过线外一点在平面上有且仅有一条直线与巳知直线平行。”罗氏几何的平行公理是“过直线外一点在平面上至少存在两条直线和已知直线平行。”那么是否存在这样的几何，这种几何规定；过线外一点在平面上不能作直线和已知直线平行？黎曼几何学就回答了这个问题。

在黎曼几何中的一条基本规定是；在同一平面内任何两条直线都有公共点，这个事实我们可以从三度空间中的二度球面来进行观察。如右图所示，在这个球面上我们把“直线"规定是这个球面的大圆，这样的直线是封闭的。在这种几何里，就这个图来说，任意两条“直线”必然相交。因此，过一定直线外一点，永远都不能作直线”平行于这条定直线。此外，在球面上任意两点间的距离是过这两点的大圆上介于这两点间比较短的弧的弧长，这也是过这两点的一切弧中最短的弧（这和欧氏几何中平面上任意两点间的直线距离最短是吻合的）。

在黎曼几何中有一个重要结论，就是“三角形的三个内角和大于180”。这是因为在这种几何里，“直线”是球面上的大圆弧，球面上三条这样的直线可以构成一个三角形。例如，在左图的球面上过北极N和南极S的两条大圆弧（也叫做子午线），和赤道围成一个三角形，也就是图中的△NAB。我们知道，子午线是垂直于赤道的，因此，这样的球面三角形的三个角中巳经有了两个直角，再加上第三个角，三角形的内角和就大于180°。这是黎曼几何中的一个重要的结论。

近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是一种黎曼几何。爱因斯坦在狭义相对论里主要和基本的命题是：空间和时间有不可分割的密切关系。而在广义相对论里放弃了关于时空的均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的区域里以一定的近似性而均匀的，但是整个却不是均匀的，只是在微小的区域内以一定的近似性而均匀的时空的观念。在物理学中的这种解释，恰恰是和“在无穷小范围内”欧氏几何式的黎曼空间的观念相似的。这个广义相对论里的时空就可以解释为一种黎曼空间。

此外，黎曼几何在数学中也是一个重要的工具。它不仅是微分几何的基础，也应用在微分方程、变分法和复变函数论等方面。

黎曼几何和欧氏几何、罗氏几何是三种各有区别的几何。这三种几何学各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。因此这三种几何都是正确的。在我们这个不大不小不近不远的空间里，也就是在我们的日常生活中，欧氏几何学是适用的；在宇宙空间中（或在原子核世界中）罗氏几何更符合于客观实际，在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎氏几何就更适用了。

（声明：本文仅代表作者观点，不代表本站观点，仅做陈列之用）

[责编：大鱼]

郑重声明：本文版权归原作者所有，转载文章仅为传播更多信息之目的，如作者信息标记有误，请第一时间联系我们修改或删除，多谢。