以希尔伯特为领袖的形式主义学派,在近代数学中发生了最大的影响。希尔伯特是通晓各个数学领域,并且关心数学在物理中的应用的数学大师。他晚年转向于数学基础的研究,提出了被称为“形式主义”的观点。
希尔伯特
形式主义的基本观点
通常认为,形式主义是支持柏拉图主义的。目的是通过形式化为柏拉图主义数学建立稳固可靠的基础。形式主义者主张使用符号推演代替语言,而符号的使用方法要按照约定的规则。但是,形式主义派与前面提到的唯名论、约定论在哲学观点上并不一样。对于形式主义者,数学是有其实质内容的,而且数学对象是可以客观地存在的,形式化的方法不过是使数学推理严格化的手段。
按照形式主义的要求,首先应当有一个符号表,其中只有有限个符号。这些符号是准备用来代替我们日常讨论数学问题的语言的。就像用字组成句子一样,符号可以组成所谓的公式,有些公式可能没什么意义,有些公式可能有意义。有意义的公式叫“合式公式”。当然,什么叫“合式公式”,都是要用具体的不含煳的规则来说明的。
合式公式相当于命题。从合式公式中选择一些基本的公式,相当于公理。为了从“公理”推演出别的“公式”定理,应当有一些推理规则。这些推理规则也是一一明确列出的:即什么样的符号串可以换成什么样的符号串。于是,数学推理就变成完全确定了规则的符号操作了。
数学符号
为了能推出现有的丰富的数学知识,基本公式——公理的选择应当遵循我们的基本数学概念,推理规则的建立应当符合常用的逻辑法则。这样运用操作规则从基本公式推出别的公式,就叫做证明。对这套符号系统的研究,叫元数学或证明论。在进行符号操作的过程中,数学家思想上认为这些符号是有确切数学含义的。例如,某个符号代表某个无穷集之类,由你去想。但这样理解丝毫不能影响具体的推演过程,推演过程完全与你的理解无关。不过,数学家的理解有助于提高推演的技巧。
当然,对这种形式系统的研究,只能用日常的,非形式的语言了。直觉主义派不是主张构造性数学吗?形式系统只用有限个符号组合来组合去,不涉及无穷过程,确实是构造性数学。但是,用这种形式系统却确实能描述出非构造性数学的内容。比如无穷吧,无穷集合是非构造的,但我们描述无穷集合性质用的语言却是有穷个符号的排列。于是,无穷可以用有穷表示,用有穷个符号之间的推演来描述。直觉主义派反对使用无穷集等概念,却没有理由否定有穷个符号的推演。但从事推演的数学家,头脑里又可以想着无穷。可以说,形式主义的方法挡住了直觉主义向非构造性数学的攻击。
无穷
希尔伯特
希尔伯特建立了元数学——形式系统的数学之后,提出了两大目标:既然数学命题可以用形式系统的“合式公式”来表示,那么,是不是所有的真命题都能在形式系统之内证明呢?也就是说,应用形式的推演规则,能不能推出所有的真命题呢?这里,是承认排中律的。一个命题和它的否命题总有一个是真的。如果推不出该命题,就应当能推出它的否命题来。这就叫做能推出所有的真命题。
如果能推出所有的真命题,就说这个系统是完全的。另一方面,形式系统会不会推出矛盾呢?会不会既能推出某一定理,又能推出这个定理的否定呢?数学家当然希望不会推出矛盾。如果推不出矛盾,就说这个形式系统是协调的。
希尔伯特的两大目标,就是证明形式数学系统的完全性与协调性。遗憾的是:进一步的研究表明,这两个目标都是不可能达到的。希尔伯特的两个目标虽然落空,但将数学形式化的基本思想作为一种原则几乎被广泛接受。并且,对元数学——证明论的研究发展成为数学基础领域的重要部分。
数学证明
形式主义的发展
对数的本质的研究,对数学对象本质的研究,促进了数学基础和数学哲学的大发展。但对“什么是数?”这个问题,对“数学的真理意味着什么?”这个问题,依然没有一致地回答。进入20世纪中叶以来,逻辑主义、直觉主义、形式主义之间的争论渐渐平息了。数学家们发现,无论哪一派的主张,都不可能令人满意地,一劳永逸地解决数学基础的问题。不同观点的数学家,沿着自己选定的道路前进,发现大家不约而同地到达同一个地方:数学研究的对象是一些关系与形式,这些关系与形式可以用有限符号来表达,它又能包含着无限丰富的内容。丰富的数学内容无法简单地归结为逻辑,也不能仅视为人的直觉的创造物。它的正确性更不可能用符号的推演来最终证明,各派最后都导致对“算法”的研究,在这一研究基础上出现了计算机的理论。
至于“什么是数?什么是数学的对象?”这样的问题,恩格斯曾作过概括地回答:纯数学的对象,是现实世界的空间形式与数量关系。而且指出“为了能够从纯粹的状态中研究这些形式和关系,必须使它们完全脱离自己的内容,把内容作为无关紧要的东西放在一边......”。今天,数学的研究范围已远远超过恩格斯所处的时代了。数学不但研究空间形式与数量关系,还研究现实世界的任何形式和关系——只要这些关系能抽象出来,用清晰准确的方式表达,所谓化为数学模型。不但如此,数学还研究在逻辑上可能的形式与关系——尽管它们暂时还没有被人们在现实世界发现,也许将来也不会发现。
因此,可以说数学的研究对象是抽象的形式与关系。抓住这一本质加以痛快淋漓地发挥的是20世纪的布尔巴基学派。我们将在另一篇中专门谈他们的工作。
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