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一般来说，产生混沌的系统具有整体稳定性。但与有序态比较，混沌态的不同在于它同时还有局部不稳定性。所谓局部不稳定性是指系统运动的某些方面(如某些维度上)的行为强烈地依赖于初始条件。从两个非常接近的初值出发的两条轨线在经过长时间演化之后，可能变得相距“足够”远，表现出对初值的极端敏感。即所谓“失之毫厘，谬以千里”。洛伦茨称这种现象为“蝴蝶效应”。正因为具有内在随机性的系统对初值的极端敏感，系统的长期行为才不可预测。

混沌的发现预示着一场新的科学思想的革命。有趣的是这个革命的幕后也有一种另外意义的“非欧几何”。如前所述，长期以来，人们一直在使用欧几里得几何方法，对复杂的对象进行简化和抽象，建立起各种理想模型(几乎都是线性的)，把问题纳入可解的范畴，对这种模式，由于从中学到大学的不断熏陶，人们已经习以为常，这种近似处理方法，在许多情况下是卓有成效的，从而在科学上取得了丰硕的成果。然而，环顾四周，自然界的各种事物大多是不规则的。正如曼德勃罗所说：“云团不是球形，山峦不是锥形，海岸线不是圆的，树皮不是光的，闪电不会沿直线行进。”复杂世界需要更贴近自然的几何学，而分形正是直接从非线性复杂系统本身入手，从未经简化和抽象的对象本身去认识其内在的规律性，因此，分形几何与传统的欧氏几何相比,可以说是更贴近自然界的几何学。

分形几何

什么是分形呢？事实上，目前对分形还没有严格的数学定义，只能给出描述性的定义。粗略地说，分形是对没有特征长度(所谓特征长度，是指所考虑的集合对象所含有的各种长度的代表者。例如一个球，可用它的半径作为它的特征长度)，但具有一定意义下的自相似图形和结构的总称。例如，科克曲线(图5）和康托尔集都是分形。与欧几里得几何不同，分形几何中没有像点、线、圆这样的基本元素。应该说它首先是一种几何语言，由算法及程序来描述的，并可借助计算机转换成几何形态，由于分形的自相似性，这些算法中多有递归、迭代的特点。

科克曲线

从1978年开始，曼德勃罗等人开始研究在非线性变换(即允许比简单放大与平移更复杂的操作如平方、立方等)下保持不变的分形。他们利用计算机来产生这样的分形图形，并研究它们的性质，又发现了混沌现象，导致了混沌动力学的建立。

在曼德勃罗开始研究分形理论时，混沌理论还鲜为人知，他写的《自然界的分形几何学》一书中就没有提到混沌动力学。但是现在逐渐清楚了，二者实有殊途同归之感，分形是混沌的几何结构，而混沌则是分形形成和演化的动力学。在应用中，分形和混沌常常形影不离，比如在湍流的研究中，涡旋的嵌套结构显然是分形。再如股票价格，上上下下，似乎没什么规律可言，你如果每分每秒盯着它的价格的确看不出什么头绪，但是,比较一周之内和一个月之内的股价变化,或一年之内的股价变化，就会发现一些共同性，整体和其部分之间存在某种相似性。就像曼德勃罗说的：“既然分形可用于描述复杂的自然界外形，那么分形能描述复杂的动力学系统的行为也就不足为奇了。正如以前在有关混沌系列文章中所表明的，模拟液体湍流、天气、昆虫群体的动力学方程式是非线性的，具有典型的决定论混沌性质。如果对这些方程做迭代——检验它们在超长时间演变时的解——我们发现，许多数学性质，特别是在做计算图示时，显示了其自身是自相似的。”总之，分形与混沌有着密切的联系,我们可以用分形定量地刻画混沌，用这种“大自然的几何”来描述世界上复杂的不规则的现象，分形与混沌，正在引起对牛顿以来的机械决定论自然观和世界观前所未有的挑战，同时将赋予人类认识、改造自然与社会的更强有力的武器!

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