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什么是蝴蝶效应？亚马逊流域的一只蝴蝶扇动翅膀就能引起北美的一场龙卷风？“混沌论”的提出无疑是对“机械决定论”的一次伟大挑战！

牛顿的《自然哲学的数学原理》中所包含的最重要的原理之一是决定性原理——世界上所有事物的瞬时位置和速度，决定其未来和过去，以往表现为混沌的宇宙，在牛顿手里似乎变成了一架调好了的大钟表，基本原理的这种规律性和简单性(据此可推导出各种观测到的复杂的运动)，在当时被认为是上帝存在的证明。牛顿在《原理》中写道：“太阳、行星和彗星如此美妙地联合,只有按照智慧超群、威力无边的人的旨意才能发生，他掌管一切,不是作为世界的灵魂,而是作为宇宙的统治者，即占有一切的上帝。”分析学的不断发展征服着新的领域，首先是几何与力学，其次是光学和声学，热的传播与热力学，电学和磁学，最后甚至混沌的宇宙也接受其统治了，拉普拉斯认为，一切自然现象都是少数不变定律的数学推论。他有一段非常着名的断言：

“一种智力，在任一给定时刻如能知悉所有的自然力和构成宇宙的所有物质的瞬时位置，而且它能分析所有的有关数据，则能用一个式子描述世上最大物体和最微小原子的运动。对它来说，没有东西是不可确定的，历史和将来在它的眼前展现。”

彗星轨迹

他所说的全知全能的东西后来被人们称为“拉普拉斯妖”。可见，牛顿的机械决定论思想在统治科学领域的同时也渗透到人们认识世界的自然观中，甚至控制着人们的思维模式。世界上的事物被认为是沿着固定的轨道运行着，只要给定初始值，就可以确定它的过去与未来。整个世界被看成是一个无限的机械重复，拉普拉斯的“全知全能的小妖”更是把这种决定论的观点推向了极致。在这样的观点指导下，事物发展的规律是确定的，结果是可知的也是必然的，偶然性仅处于从属地位，而必然性处于支配性中心地位。简单明了的分析法被奉为万能钥匙，整体等于部分之和；欲知整体性质，只须将其“拆零”研究即可，个体之间的非线性相干作用被忽略。然而，世界果真是这么理想和简单吗？

事实上，科学家们发现的许多现象，都促使人们不得不重新去认识这个复杂的世界，美国气象学家洛伦茨(E.N.Lorenz)在天气预报中发现的混沌，就是令人瞩目的一例。

爱德华·诺顿·洛伦茨

洛伦茨本来是学数学的，1938年大学毕业后由于第二次世界大战，使他成了一名气象学家。战后他继续从事气象研究，在麻省理工学院他操作着一台当时比较先进的工具——计算机进行天气模拟。在20世纪五六十年代，人们普遍认为气象系统虽然非常复杂，但仍是遵循牛顿定律的确定性对象，只要计算机功能足够强大，天气状况就可以精确预报。冯·诺依曼(Von·Neumann)在设计第一批计算机的时候，就以天气模拟为理想任务。他设想通过使用计算机计算流体运动的方程，人类就可以控制天气。天气变化是一种特殊的流体运动——对流。洛伦茨建立了下面这个极其简单的对流模型，一个只有3个方程的一阶微分方程组，后称为洛伦茨方程。

洛伦茨把这个方程组作为大气对流模型，用计算机做数值计算，观察这个系统的演化行为。终于有一天他看到了一个奇异的现象。

那是1961年冬季的一天，他先算出了一个解，还想观察更长时间的演化情况。这次他没有重新输入初始值，而是把中间值作为初值输入以节省运算时间，然后他下楼去喝咖啡，当他回到机房取结果时，却惊奇地发现，新轮运行并未按预想的那样去重复旧运行的后一半。两条曲线渐行渐远，直到完全分道扬镳。

起初，他以为是计算机出了故障，但他很快意识到，问题出在他记录并敲入的小数是三位的，而机器内存储使用的是六位的。这个不到千分之一的误差导致了截然不同的演化结果，表明最初小小的误差可以产生两种完全不同的“天气”，这正是混沌对初始条件的敏感依赖性。洛伦茨后来把它称为“蝴蝶效应”，并通俗地比喻为：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀会在得克萨斯引起一场龙卷风。

蝴蝶效应

1963年，他把第一篇题为《确定性非周期性》的论文发表在美国的《大气科学杂志》，以巨大的勇气向传统理论提出了挑战，揭示了计算机模拟结果的真实意义，在耗散系统中首先发现了混沌运动。

物理上将动力学系统分为保守系统和耗散系统。如果系统中不存在摩擦、粘滞等因素，运动过程中能量守恒，这类系统称为保守系统；如果系统中有摩擦、粘滞性的扩散或热传导性质的过程，在运动过程中消耗能量，系统的能量不能保持恒定不变，这样的系统称为耗散系统。庞加莱研究三体运动时在保守系统中已发现了混沌，而洛伦茨则是在耗散系统中发现混沌的第一人。

洛伦茨的模型是一个理想的模型,他把一组对流方程简化到只剩下了骨架，除了非线性之外，几乎什么也没有剩下，这也许是他作为一个数学家的数学思维发挥了根本作用，因为这样的模型更能定性地说明气象的本质。如果采用更能确切地刻画系统特点的高阶微分方程，那么数值结果的无规行为，就会被归咎于方程的复杂，因而不便发现混沌。洛伦茨的简单化数学处理，让人们从最简单的模型观察到奇怪、复杂的行为，并理所当然地承认，这种不确定行为源自确定性系统产生的内在随机性。着名的英国数学家伊恩·斯图尔特总结说：“多数科学家对那些削去部分的作用忧心忡忡，他们未理解，洛伦茨根本不在意他的方程是否有物理意义，洛伦茨打开了通往一个新世界的大门。”

他还揭示了一系列混沌运动的基本特征，如非周期性、对初值的敏感依赖性、长期行为的不可预测性等，其中最值得一提的是洛伦茨吸引子。当年洛伦茨在自己的论文中附了一张图，是一条十分复杂的曲线，20世纪80年代人们开始越来越普遍地认识到混沌时，才注意到这就是后来所谓的奇异吸引子，就将其称为洛伦茨吸引子，他当时画的那条曲线也像我们这里给出的一样分左右两叶，不同的是左叶只画出五道环，右叶才画两道环。但仅这七个环线，洛伦茨就进行了500次数值计算，右图是进一步画下去的结果。虽然当时他的计算机很难给出这个图像的全貌，但他看到的比画出的要多。这是一种双螺旋,像一只蝴蝶的翅膀，两翼的曲线巧妙地交织着，但永远不会自交，因为一旦自交，此后的运动就会按周期重复，在有限的范围内永不重复，无限地向纵深卷曲，正是这个吸引子的美妙之处。

洛伦兹吸引子

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