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第一次数学危机源自无理数√2，在那次危机中有着名故事『毕达哥拉斯杀人事件』。

很多科普读物勾起读者兴趣之后，并没有再继续探讨下去，让人觉得这个问题之后就被解决了。其实不然，这个争论持续了2000多年，直到19世纪才彻底结束。

无理数

怀疑并不是无来由的，虽然当时人们已经认识到无理数是无限不循环小数，但是又怎么证明「无限不循环」的存在呢？19世纪的德国数学家克罗内克就不承认无理数存在：「上帝创造了整数，其余都是人的工作」。

这是数学家的严谨态度：数学基础要建立在自然数上，如果有数不能从自然数中推出，那就是有问题的。问题绵延2000多年也未能解决，毕竟它不妨碍生产和生活。微积分诞生后，立即就发挥了重大作用，很多在初等方法下困难重重的问题，通过它可以被轻松解决，所以已经被广泛的应用到生产生活当中了。

但微积分理论从开始就带着问题，尤其是牛顿的「流数术」，在论证的过程中舍去了「无穷小量」，并未作出解释。

其中最着名的批评者是「贝克莱主教」，他在《致一位不信神数学家的论文》中称无穷小量为「已死数的幽灵」，称微积分是「依靠双重错误得到了不科学却正确的结果」。虽然这篇文章包含着神学的味道，但提出的数学问题却切中要害。

贝克莱主教

对于微积分的责难没有停止过，但牛爵爷是个彻彻底底的实用主义者，他完全不管这事。莱布尼茨虽有心补救，但并未成功。后来人们发现，微积分的问题在实数本身。[1] 数学的大厦上有个小裂缝，最初似乎完全不碍事，但千年的风吹雨打让它越来越大，以至于数学大厦已摇摇欲坠，数学大厦的地基需要被加固了！

终结者戴德金

问题终结在「戴德金」和「康托尔」手上，他们的工作揭示了：实数系统并不能依赖初等方法从有理数中构造出来，而须于依赖无穷集合。构造实数的方法有很，其中最易理解的是「戴德金分割」。

首先，有显而易见的「有理数公理」：

1.数是有序的。不同的两个数，顺序关系有且只有一种，要不就是大，要不就是小。

2.数是稠密的。任何两个数中间都有其他数。

3.数集是可分的。以任意数 a 为界，可以将整个数集分成『比a大』(右集)和『比a小』(左集)两部分。至于数 a 本身，归于哪一边都是可以的，不影响讨论。

大致的描述一下，戴德金分割产生无理数的过程（确界公理）[2]：

先明确一下「下确界」概念：集合E中的所有元素都大于等于数a，则数a就是集合下界。所以说，集合下界可有无穷多个，其中最大的就是「下确界」。

如果证明，数集有界就有「下确界」，并且「下确界」不是有理数，就可以通过这种方式找出「无理数」。

实数是连续的

想象大剪刀把数轴剪断，如果数轴是由「有理数」组成的，那么剪刀可能会「减空」，也就是断口处没有任何数，而对于「实数」来说却不然，「实数」是连续的！

由戴德金分割给出的无理数定义，证明了实数的连续性（完备性），成为数学的基础，这也被称作「数的连续统」或者「连续公理」。

从此直线上的点与数轴上一一对应了（Cantor-Dedekind 公理）[3]，代数几何之间的鸿沟被填平，持续了2000多年的第1次数学危机，画上了句号。同时也为微积分打下了坚实的数学基础，这对19世纪后的数学产生了巨大影响。

康托尔与戴德金

虽然戴德金和集合论创始人康托尔未曾谋面，但是却有书信来往。

康托尔的理论遭到了当时同行们的恶毒攻击，甚至可以说是迫害，以致其最后因精神失常死于疯人院。对于康托尔来说，戴德金是为数不多的亲密盟友了。

这部分内容中，关于实数的连续性理论还是比较直观而有趣的，在此基础上对实数的加减乘除进行定义就很枯燥了，实际上这部分的内容对于大多数的分析学教程来说也是颇为神秘的。

《数学分析新讲》中就认为，关于实数的内容，不建议初学者一上来就学习，而是建议后期证明中遇到问题之后再回来查阅。因为还没用到的情况下，实在是令人提不起兴趣，从而昏昏欲睡。

参考资料

▪  dalaoliblog.wordpress.com/2018/06/05/戴德金切割和连续的实数/

▪  大数学家 (科学家传记系列) - 陈诗谷 & 葛孟曾.

▪  baike.baidu.com/item/贝克莱悖论

▪  微积分的历程：从牛顿到勒贝格 (图灵新知)

▪  妙趣横生的数学常数

▪  数学分析新讲

▪  微积分发展史

▪  zh.wikipedia.org/wiki/无穷小演算

▪  cnblogs.com/iMath/p/8257142.html

注释

[1] 之所以微积分最后扯到了「实数」，和 2000 多年前的数学危机联系在了一起，是因为在牛顿和莱布尼茨之后，数学家抛弃了「无穷小」而将微积分的基础建立在了「极限」上，从而引发了关于「实数」（无理数）的探究。学习数学分析，最尴尬的地方莫过于，历史的发展和教科书的顺序经常是颠倒的。

[2]「戴德金分割」和「确界公理」是等价的，都体现了实数的连续性。

[3] 这里所说的「数的连续统」并不是康托生前想证明的「连续统假设」。

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[责编：雨滴]

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