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零点定理理解起来很容易，因为连续的观念似乎已经在脑袋里扎了根。但通过这个定理却能证明很多奇妙的问题。

拉橡皮筋问题

拉一根橡皮筋，一头朝左拉，同时另一头朝右拉。在橡皮筋不拉断的情况下，橡皮筋上有一点在它原来的位置上不动。

如上图所示，红色表示拉伸前的橡皮筋，绿色表示拉伸后的橡皮筋。给出[a,b]拉伸至区间f(x)是闭区间f(a)b。需证明至少存在一点(a,b)，使得F(x)=f(x)-x。[a,b]上连续，且

F(b)=f(b)-b>0.

由零点定理，存在(a,b)，使得f(ξ)-ξ=0。

证毕。

这就是不动点理论的一维情况。不动点理论由荷兰科学家布劳威尔提出，在经济学方面有着奠基性的作用，在偏微分方程领域也有巨大的贡献。不动点理论的二维解释，我们可以形象地描述为：设想在桌面上有一张纸，我们将其揉皱成一团，将纸团扔在原来位置上。那么，纸团上至少有一点，它在揉皱前的初始位置上方。三维情况可以形象地描述为：假设有一杯咖啡，我们缓慢均匀地将它搅拌，使得没有湍流和气泡产生，没有液体溅出，然后令咖啡徐缓地静止下来。那么至少有一个分子，它在搅动前的位置和它在静止后的位置重合。

(Kenneth Joseph Arrow，8月2017年21日(Gérard Debreu，7月2004年31日“阿罗”。电影《美丽心灵》的原型小约翰·纳什（1928年13日－5月——Nash均衡，利用不动点理论证明了均衡点的存在，为博弈论的一般化奠定了坚实的基础。阿罗、德布鲁和纳什分别获得1983年度和

这是初等数学里经典的行程问题。我们可以把这个人两天的行程重叠到一天去，换句话说想像有一个人从山脚走到了山顶，同一天还有另一个人从山顶走到了山脚。这两个人一定会在途中的某个地点相遇。相遇的时间和地点就说明了，这个人在两天的同一时刻都经过了同一点。

现在我们用零点定理来证明下该点的存在性。假设从山脚到山顶的这条山路共长f(t)表示第一天此人出发g(t)表示第二天此人出发f(t)和[0,12]上的连续函数，

并且有ξ∈f(ξ)+g(ξ)=L。

证明：构造辅助函数F(x)在闭区间  F(0)=f(0)+g(0)-L=-L<0,

ξ∈F(ξ)=0，即3.    跑步问题。

某运动员6千米，那么该运动员必定在某2千米。

设f(t)在区间f(0)=0,f(30)=6。需证明至少存在一点[10,30]，使得F(x)=f(x)-f(x-10)-2。显然[10,30]上连续，且

F(20)=f(20)-f(10)-2,

F(10)+F(20)+F(30)=f(30)-f(0)-6=0.

若ξ=10,20,30即可。

若a,b∈F(b)<0. 由零点定理，存在(a,b)⊆F(ξ)=0，即ξ∈f(ξ)-f(ξ-10)=2。

证毕。

 登山问题

某人上午八点从山脚出发，沿山路步行上山，晚上八点到达山顶。不过，他并不是匀速前进的，有时慢，有时快，有时甚至会停下来。第二天，他早晨八点从山顶出发，沿着原路下山，途中也是有时快有时慢，最终在晚上八点到达山脚。试着说明：此人一定在这两天的某个相同的时刻经过了山路上的同一个点。

这是初等数学里经典的行程问题。我们可以把这个人两天的行程重叠到一天去，换句话说想像有一个人从山脚走到了山顶，同一天还有另一个人从山顶走到了山脚。这两个人一定会在途中的某个地点相遇。相遇的时间和地点就说明了，这个人在两天的同一时刻都经过了同一点。

现在我们用零点定理来证明下该点的存在性。假设从山脚到山顶的这条山路共长L。f(t)表示第一天此人出发t小时走过的路程，g(t)表示第二天此人出发t小时走过的路程。显然f(t)和g(t)都是[0,12]上的连续函数，

并且有f(0)=0,f(12)=L,g(0)=0,g(12)=L。需证明至少存在一点ξ∈(0,12)，使得f(ξ)+g(ξ)=L。

证明：构造辅助函数F(x)=f(x)+g(x)-L。F(x)在闭区间[0,12]上连续，且

F(0)=f(0)+g(0)-L=-L<0,

F(12)=f(12)+g(12)-L=L>0.

由零点定理，存在ξ∈(0,12)，使得F(ξ)=0，即  f(ξ)+g(ξ)-L=0。

证毕。

聪明的读者有没有体会到数学逻辑的严密性呢~

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