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从实际应用中去认识线性代数

作者:数学经纬网发布日期:2020-01-12 21:19浏览次数: 来源:原创

提起线性代数,在大学可以说是无人不知,无人不晓,除了高数之外最“名(chou)满(ming)天(zhao)下(zhu)”的可能就是这样一科目了,比如可能会是这样。

从实际应用中去认识线性代数

我们学习的过程也很像一句玩笑话所说的,“线代高代,咸鱼狗带”。但是,面对理工科至关重要的一门课,我们到底要不要“狗带”呢?

似乎不错呦!

从实际应用中去认识线性代数

坚决不要挂科

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在这里,有没有办法“咸鱼翻身”?一定是有的。接下来咱们就去谈谈关于线性代数的学习方法问题。

学习数学领域的基础知识,无外乎两个目的:一个是在考试中取得好成绩,一个是真正理解这些知识,方便在之后的学习研究中加以运用。前一个目的网上已经有很多人给大家支招,在此不做赘述,笔者主要结合个人学习体会浅谈第二个目的如何达成。

从具体到抽象

往往一门学科入门有两种方法,一种是从抽象到具体,一种是从具体到抽象。一开始就罗列一些严密而抽象的定义,以及随之而来的一系列公式,这对初学者其实并不友好,也不能帮助初学者去仔细思考这些公式和定义所蕴含的人类智慧。

所以,我们应当先从一些具体的案例出发,深入浅出地理解诸如“线性相关”“秩”等核心概念以及围着这些概念所衍生出的其他理论,以免陷入“Shut up and calculate”的困境。我们考虑两个经典且基础的案例:线性方程组的求解、线段旋转与线性变换。

一、线性方程组的求解

从小学开始,我们就开始接触如何求解下面的方程组

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方程组(1)简洁而重要,因为许多理论以及简单的模型最后都可以归结为方程组(1)的求解。小学和初中阶段利用加减消元法进行求解;高中后,在计算立体几何,求法向量的时候,会利用行列式来获取答案。上大学前,我们对于线性代数中最基本的问题——线性方程组的求解,其实并不是很陌生。

不过,在大家欢天喜地地求解方程组(1)之时,或许想过,又或者在具体的算例中碰到过如下问题:

方程组(1)与方程ax=b有联系,我们能否构造出更为一般的数学对象,把这种联系揭示出来,并且让这些对象能有更广泛更深刻的理论和应用?

如何对行列式做到n个变量的推广?与此相伴的问题是行列式究竟该如何定义?

方程组(1)什么时候有解,什么时候没有解,什么时候解是唯一的,什么时候解是不唯一的?

以上三个问题,正是任何一本标准的线性代数教材前几章的知识所致力于回答的问题。解决思路就是引入向量空间,以及矩阵,那么(1)式可以在形式上的写作:

Ax=b               (2)

我们只要研究系数矩阵A及其增广矩阵A^'=(A,b)就好了。如何研究?那些絮絮叨叨的线性相关的理论就是为此服务的。

如果考虑我们熟悉的实数域的情况,当系数方程是方阵时,可将行列式视作空间R^(n×n)到数域R的映射,即:

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根据一阶行列式,二阶行列式的公式,递归的定义行列式

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可以证明(3)是唯一满足如下条件的映射:

将单位矩阵I映射为1

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如果矩阵A某两行(列)的行(列)向量相同或存在相应的倍数关系,那么det(A)=0

用行列式,线性相关,基,秩这些概念,便可以建立起关于方程Ax=b的有解的判别条件,也能够得出解的结构的定理,这些在标准的教材里都有,在此不再赘述。值得注意的是,如果将这套理论,推广到可微函数组成的线性微分方程组,也可以构造类似的命题,这说明可以将矩阵和向量做更为一般的推广。

二、线段旋转与线性变换

大家用PS或者PPT的时候,细心点就会发现里面的那些形状其实都是用坐标描述的,于是便可以将其视作R^2的一个子空间。考虑一个简单的问题:我们需要对PS里位于坐标原点的一段线段逆时针旋转一定的角度,PS是如何实现这个功能的呢?很简单,只需要对这段线段对应的向量进行坐标变换就好了。如果进行变换呢?如果将方程(2)视作将向量x变换为向量b,那么就可以把矩阵A“视作”一个变换,即只要用一个二阶矩阵来表示旋转变换就好,这个二阶矩阵可以是

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旋转变换是一个有关线性变换的具体案例,而且不改变线段的长度(保持距离)。此外,可以想象,如果一个向量的方向与旋转的方向一致,那么旋转变换是不会改变其方向的(这个向量就是所谓的特征向量)。

标准的线性代数教材的后半部分,很大程度上是对这个线段旋转问题的扩展。矩阵的特征值,对角化,以及二次型的理论就是上面这个线段旋转问题的进一步研究。此外,二次型的相关理论还有助于回答二次曲线和曲面分类的问题,具体可见任何一本标准的线性代数教材,例如丘维声的书。

 

对于学习的一点建议

由以上例子可以看出,现实世界中很多专业与线性代数都有着紧密的联系,从这个角度去谈,线性代数也是源于对现实问题的解决才得以形成的一门独立且完备的学科。但是,在具体的学习过程中,往往我们都是先从一些很抽象的定义出发,去探讨、推导很多定义、定理,这让很多同学头疼不已,如果自己去推导,费半天劲不说还不理解它到底讲的是什么;不去推导呢,自己的基础可能会跟不上,也更加不理解这门学科了。

就此,对于如何有效学好线性代数这门重要的学科,有几点见解和大家交流:

首先,在学习抽象定义以及其推论定理的时候,不要去考虑它到底有什么用,先去学,即所谓的“Shut up and calculate”。线性代数这个东西,对于习惯了高中数学的大一同学来说比较抽象,可能乍一看没什么意义。所以建议大家不用再琢磨它的意义,而在后续的其他课程中,其意义自然会慢慢体现出来。

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其次,要自己推导书上的每一个结论。这个方法很多人可能不太愿意接受,但是我们必须要求自己去理解、应用其中的方法、观念。我们会更清楚那些奇怪的定理为什么会成立,并且也能掌握定理证明中那些有用的方法和技巧。

最后,再推荐一些好的教材和学习资料给大家。

教材:《线性代数及其应用》  (David C.Lay Steven R.Lay Judi J.McDonald 着),在图书馆中都会有它的翻译本,这里面每一章节都会有很多应用实例,个人感觉非常适合工科生;

课外资料:《线性代数的本质》系列视频,链接:

https://www.bilibili.com/video/av44855426?from=search&seid=15420119769943972403

最后,希望大家能够认真踏实的去对待每一门学科的学习,尽快掌握科学且高效的学习方法,祝大家都能学得真本领,取得好成绩。


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[责编:雨滴]

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