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当我们在学高数的时候,我们在学什么?

作者:CN分享发布日期:2019-11-26 22:10浏览次数: 来源:微信公众号

高等数学,绝大多数人进入大学后所接触到的第一门数学课,但在大学里一直流传着这样一个段子——从前有一颗树,下面挂满了人,这棵树叫做“高数”。

如此说来,仿佛高数就成了挂科的代名词,高数就十分的难了。但是果真如此吗?其实,在小编看来,高等数学这个名字本身就是一个“误会”,不应该叫“高等数学”,因为其不仅不“高等”,甚至还有些基础,主要是因为,其一高数除了极个别专业不需要学,其它专业诸如工、理、商等都是需要学习的,就算是文科也需要修简明版的高数的;其二,高数是进行专业课学习的基础课程,特别是工、理、商等专业,可以这样说,没有高数这些专业课是很难理解的。其三,高数并不难,学过的朋友应该有所体会,当年小编学高数的时候甚至流传这样一句话——“只要你高中数学的微积分学的好,高数其实可以不用修的”。再而,高等数学的内容其实就是微积分,按照一般“见名知意”命名原则,与其叫“高等数学”,不如叫“微积分”。小编知道很多朋友对高数反感的原因主要不是在于高数的内容,而是在于高数教材枯燥呈现和老师枯燥讲述。于是在一种“狂妄”的心态和“不怕死”的精神下才产生了本文。如果能帮助各位对高数的理解,还能对数学产生兴趣的话,小编那就十分高兴了。

高数概况

高等数学,在一些学校又称其为“微积分”,是一门很重要的公共基础课。高等数学,一般分为上下两本,大部分学校用的是同济版的,最新版应该是第七版。

当我们在学高数的时候,我们在学什么?

图一

先来吐槽一波,个人觉得这套高数教材编的不咋样,水平的话一般吧,有些地方写的根本就看不懂,不知所云,相反看国外教材的话就好理解多了。十分推荐各位去看原版的教材,给人的感觉真的很不一样,至少是解决了许多困惑我多年的问题。可能各位在担心自己的英语水平,其实这些都不是事,理工科的英语表达难点主要在于专有名词多,句式是很单一的,在加上为了表达的逻辑性和规范性,就更好理解了,在我看来比一般的英文小说至少简单了100倍。还有一点就是,一般英文教材内容都比较多七八百页是很正常的,但这么长的篇幅主要在阐述公式的意义;而中文的教材,比较薄,很多内容默认你是知道的,学过的或者了解的,比较注重公式的推导。早点接触原版教材绝对是一件好事,那就安利一本《Thomas Calculus》。

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图二

回到正题来,高数主要包括五大块,极限,微分,积分,级数和微分方程。极限是整个微积分内容的基础,没有对极限的严格定义是无法严格定义后面的四部分内容的。然而极限定义并不简单,正是由于对极限的严格定义才得以解决第二次数学危机。ε-δ语言能只读一次就明白的绝对是天才。微分和积分是整个微积分的核心内容,以牛顿-莱布尼茨公式为基础,进而研究一维微积分,二重微积分学,乃至三重微积分学,再加上曲线积分和曲面积分。级数和微分方程是微积分的两个应用,在高数中只是对其进行了一个比较简单的介绍,在此也就不过多说明了。

线性代数和高数整个本科教育的地位是一样的,高数研究的是连续的,线性代数研究的是离散的,如果能把这两门课学好(这里说的学好不是指考试分数高,而是真的知道和理解高数和线代),那么你就可以十分轻松的“遨游”本科知识的海洋而不用担心数学只是不够用。

生活中的高数

有时候我就在想,这么辛苦的学习高数有什么用呢?难道我去买担心还要用到微积分?后来,我发现自己错了,作为一个人除了每天的吃喝拉撒的动物性之外,我还拥有“生而为人,关心整个宇宙”的渴求。

存款问题

了解经济活动,是一个现代人应有的素养。

现在考察这样一个问题,如果你在银行里存了1元钱,但很不幸同时又发生了严重的通货膨胀,银行存款利率达到了100%。

如果银行一年付一次利息,那么满一年后银行将付给你1元利息,存款余额2元。

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图三

如果银行每半年付一次利息,你可以把利息提前存入,利息生利息,即复利,一年存款金额为2.25元。

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图四

假设银行可以每4个月就付利息,复利计算,那么年底余额为2.37元。

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图五

如果银行一天结算一次,那么一年之后余额会是多少?

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图六

如果银行一个小时结算一次呢?一分钟结算一次呢?其实我们发现,变化不是很大。将其抽象为数学模型,即考虑当 时,(1+1/e)^2 大小,高数告诉我们其实就是 。

恋爱问题

在大学里,男的谈论起游戏和体育,女的谈论起服装和美食,一般都能说上三天三夜,但唯有触及到恋爱的话题,仿佛双方都来了劲。

考虑这样一个问题,假如小红是机械系的唯一女生,想在大学里只谈一场恋爱,只接受一个男生的表白。若小红在大学四年的时间里,每一时接受男生表白的概率是一样的,那么她该如何抉择才能使得她在大学四年的恋爱的期望值是最高的?

如果你学过高数这个问题不难回答,在起初4×1/e时间段不接受男生的表白,如果后续一旦出现一个男的比之前所有表白男的优秀就接受该男的,这样就会使得恋爱的期望值最高。

所以男同胞们就要做好相应准备了。

估算

估算是一种有用的技能,它能让我们大概了解一件事情。

说起估算,我十分佩服费曼,在这方面他绝对是一流的,但下面想展示的并不是他的故事。

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图七

估算如下一个式子:

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图八

这是统计物理学里面一个比较常见的式子,一般手机的计算机 时就难以计算出来了,再说我们并不关心具体数值到底是多少,只要能给出它的数量级就行了,那如何进行估算呢?

下面这个式子当 较大时,两者的误差就很少了。

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图九

如果两边同时取对数,两者相差更小。

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图十

泰勒展开式

泰勒展开式是高数一个重要的公式,十分的有用,也十分的方便。那么如何理解泰勒展开式呢?

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图十一

其实理解泰勒展开式是一件十分自然的事情。泰勒展开回答了一个“我在哪里?”的问题。如果我要知道我现在在哪里,是不是需要知道前一段时间我在哪里,然后根据我的速度,加速度,加速度的速度等来逼近。

假设现在现在有一个警察要逮捕一名小偷,警察只知道小偷前一天在西安,那么警察要想知道小偷现在在哪里,是不是要在西安周围寻找,如果警察知道小偷的逃跑速度(此处指矢量)也就是位移的一阶导,那么就可以相对逼近小偷的当前位置;如果警察还知道小偷的加速度即位移的二阶导,那么又可以仅一步逼近小偷了,如此而已。


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[责编:雨滴]

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