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代数学在提出无穷学说之后，果然像希腊人担心的那样，在数学界引起了混乱，令数学家烦恼不已。

一、希尔伯特旅馆悖论

希尔伯特的旅馆(Hilbert's Hotel)是世界上最大的旅馆，里面有无穷多个房间，分别编号为

1，2，3，4，5，6.............

有一天旅馆住满了，但傍晚的时候又来了一个客人。

图一

“很抱歉，我们的旅馆没有空余的房间了”老板希尔伯特无奈地说。

正当客人准备离开去找其他旅馆时，希尔伯特的女儿叫住了客人

“请等一下！爸爸，我有个办法，让这位客人住下。”

“噢，亲爱的宝贝，你能有什么办法？”

“很简单，我们让1号房间的客人搬到2号房间，让2号房间的客人搬到3号房间，让3号房间的客人搬到4号房间......

图二

这样让1号房间就空出来了，而每个已住店的客人只不过是换了一个房间而已。”

现实中的旅馆，如果住满了，肯定不能再住进新的客人了。但是希尔伯特的旅馆却能不断地住进新来的客人，这确实有悖常理。

但是注意了现实中的旅馆不论多大，都只有有限个房间，而希尔伯特的旅馆却有无穷多个房间。

这个悖论的根源在于错把无穷当成有限来看待！

(考考你) 如果希尔伯特的旅馆住满后，又来了无穷多个客人，能安排他们住下吗？

不过希尔伯特的旅馆在现实中肯定是不存在的，因为我们接触感知的任何外界事物都是有限的。

二、秃头悖论

虽然现实中没有无限的外界事物，但是，这并不妨碍我们在脑中形成无穷的理念。实际上，数量庞大的事物很容易被我们当做无穷。比如，现代工业正在毫无顾忌地消耗地球的资源，好像可以“取之不尽，用之不竭”，但有几个人考虑过地球的资源其实也是有限的。再比如，大海中的水珠，大地上的尘土，天空中人类所能观察到的繁星，所有这些都给我们以无穷的遐想。如果你们觉得这些例子离我们生活太遥远，我们就来看看更贴近生活的

秃头悖论

先抛出一个前提结论：

“假设A是一个头发浓密的人，而另一个人B的头发只比A少一根，那么B的头发也是浓密。”

相信很多人都不假思索地认为这当然没毛病，B的头发当然也是浓密的。

但是一旦你承认了这个前提结论，问题就来了。一个正常人的头发数量是十万根左右。那么

“头发数量为100,0000根的人是头发浓密的人”

这个结论肯定没问题，这个结论和前提结论联合，就可以推导出

“头发数量为99,9999根的人是头发浓密的人”

又可以继续推出

“头发数量为99,9998根的人是头发浓密的人”

“头发数量为99,9997根的人是头发浓密的人”

“头发数量为99,9996根的人是头发浓密的人”

“头发数量为99,9995根的人是头发浓密的人”

.......................

.......................

.......................

到最后，我们可以推导出

“头发数量为3根的人是头发浓密的人”

“头发数量为2根的人是头发浓密的人”

“头发数量为1根的人是头发浓密的人”

“光头的人是头发浓密的人”

这，，，，就太离谱了！

图三

但是注意了我们的推导过程虽然非常漫长，但绝对没有任何问题。所以问题肯定出在前提结论中。

因为在我们的潜意识中，我们会把头发浓密当成是有无穷根头发，会认为去一根不会影响头发浓密的事实。其实这是有影响的，只是这种影响根本无法察觉。

有限和无穷的最本质的区别在于，无穷是“取之不尽，用之不竭”，而有限，不论数量多庞大，“日取一厘”，总会有耗尽的一天。

所以我们可以这样理解这个悖论，它源于错把有限当成无穷。

p.s.  关于秃头悖论，其实有多种不同的解释，其中最有代表的观点是认为谓词“浓密”本身具有模煳性。

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[责编：雨滴]

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