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协方差、相关系数本质上是一个东西，目的都是描述两个随机变量之间具有什么样的关系。

1 事物之间的关系

事物之间的关系有两种，有关系、没关系。

1.1 有关系

据专家表示，要买房的人越多（下图的城镇化率可以简单理解为进城买房的人数），房价就越高（数据来源）：

图一

从上图可以看出，房价与进城买房的人数成正比，两者的关系是正相关。

城镇化除了推升城市房价之外，还有另外一个作用，降低出生率。城镇化和出生率之间的关系就是负相关：

图二

所以说，“城镇化是最好的避孕药”，不管在新加坡、日本、中国、美国都有这样的规律。

2 协方差和相关系数

扯了这么多有的没的，我们该回到正题了。

先假设有两个随机量下，x,y，皆有均值。

由这两个随机量及其均值组成两个向量（可以这么认为，对于随机变量组成的

向量，其均值才是原点）：

图三

好，准备好了，我们往下走。

3.1 样本协方差

对于 x,y   ，其样本协方差为：

图四

通过向量表示为：

图五

协方差看起来很像点积。

其实协方差已经可以表示两个向量之间的关系了，但是会受到向量长度的影响，比如：

图六

虽然两个向量的夹角相等，但是算出来的协方差，除了符号相同外，数值却相差较大，为了解决这个问题，我们把协方差归一化，也就是相关系数。

3.2 样本相关系数

对于 x,y  ，样本相关系数为：r=（Sxy）/（Sx）（Sy）

其中Sx,Sy  为标准差。

通过向量表示为：

图七

相关系数其实就是之前说的余弦距离，表示事物之间的相关性。

对比之前关于网站书评的例子，容易知道：

• 0＜r=cos（θ） ≤1 ，则正相关

• -1≤r=cos（θ）＜0 ，则负相关

• r=0 ，则不相关

要说明的一点是，r=0 代表不相关，并不一定独立。这和线代的独立含义还是有所不同。

4 通过散点图来看待相关系数

之前是通过向量来解释了相关系数，不过随机变量x,y  一般数值都很多，组成的向量都超过三维，这样就没有直观的几何意义了，所以我们一般用散点图来表示。

比如说，我这里有一组身高、体重的数据：

图八

相关系数为：r≈0.94

和我们直觉相符，体重和身高确实是有强烈的正相关关系。

把（身高，体重）作为一个点，画成散点图：

图九

从散点图也可以看出，这些点并非随机，其实是有规律的，可以认为它们贴合在下面红色直线的周围：

图十

而下面这样的点才是散乱无章的，所以相关系数接近于零：

图十一

最后用维基百科给出的散点图来结束，该散点图给出了不同形态的点分布与相关系数之间的关系：

图十二

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[责编：雨滴]

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