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在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。

什么是数学期望呢？

数学期望描述的是一个随机变量取值的集中位置，也就是随机变量的概率加权平均值。只有在大量试验基础上才能体现出来的一个规律性。

关于它的来源，还有一个小故事。

1651年的一天，法国贵族，同时也是着名赌徒------梅雷（de.Mere,1610～1684）和国王的侍卫赌掷骰子，他们约定每人各拿出32枚金币，谁先赢满3局，谁就获得全部赌金，而且输赢概率对半，赢家可以获得64金币的奖励。赌了半天，梅雷赢了2局，侍卫赢了1局，这时他们接到国王的召见，赌局被迫终止，那么，问题来了，这个钱应该怎么分？

图一

侍卫说：“假如继续赌下去，我只要两次好机会就能取胜，当然你也有可能再赢一局取胜，所以应该把钱分成3份，赢了2局的就拿2份，赢了1局的就拿1份。”梅雷却认为：“我只要再赢一局，就可以赢得全部金币，而你要再赢两局，才能赢得64枚金币，所以我应该得到全部的金币四分之三。”也有好事者提出，最早说的是赢满3局，而谁也没达到，所以就一人分一半，可是这也没有得到他们的认可，两人始终没有达成共识，赌注自然也无法分配。

万般无奈下，梅雷向好友帕斯卡（没错，就是你们都认识的那位!!!）写信提出了这个问题，苦苦思考了三年的帕斯卡于1654年7月29日，给另一位法国数学家费马写信，商量如何解决这类问题。

在7月29日的信中，帕斯卡认为，当甲得2分，乙得1分时赌博终止，那么甲应该说：“在任何情况下，我有权获得32枚金币。对于剩下的，或许是你赢或许是我赢，机会均等，所以应平分剩下的32枚金币。因此最后我应得48（32+16）枚金币。”假设两赌徒中甲赢了两局，乙一局未赢，那么接下来可能出现的情况是：若甲再赢一局，得3分，将获全部赌金；若乙赢一局，出现2:1的局面，这是上面讨论过的。因此，不管甲在下一局是输是赢，有3/4的赌金应属于甲，至于剩下的1/4赌金，甲乙两赌徒获得赌金的机会相等，应平分。故甲应得赌金的7/8，乙应得赌金的1/8。假设甲赢一局，乙一局未赢，则可能出现如下情况：若甲再赢一局，形成2:0局面，这也是上面讨论过的情况；若乙胜了这一局，形成1:1的局面。因此在任何情况下，甲有获取赌金的1/2，乙有权获得赌金的1/8.至于剩下的3/8赌金，他们得到的机会相等，应该平分。

经过长达三个月，7封书信（其中帕致费的有3封）的往来，两人取得了一致的意见：梅雷的分法是对的，他应得64个金币的四分之三，赌友应得64金币的四分之一。

为什么呢？假定他们俩再赌一局，或者A赢，或者B赢。若是A赢满了3局，钱应该全归他，这也就是说他已经有了一半的把握；而A如果输了，即A、B各赢2局，这个钱应该对半分。现在，A赢、输的可能性都是1/2，这时如再进行一局，就一定能分出输赢，这一局A赢的概率还是1/2，所以，他拿的钱应该是 (1/2)×1+(1/2) × (1/2)=3/4，当然，B就应该得1/4。

在1654年10月27日，帕斯卡又给费马去信说：“你的信所阐述的内容是令人满意的，你所采用是方法是正确的，深感敬佩。这种分配方法完全是你创建的。我所想出的方案与你的方法是完全不同的，但都达到了同样的目的……”帕斯卡的信宣告了讨论至此结束。

但是概率论---才刚刚开始！

图二

法国500法郎上的帕斯卡

通过这次讨论，他们引进了赌博的值(value)的概念，即值等于赌注乘以获胜概率。稍后不久，荷兰着名的物理学家、数学家------惠更斯(Christiaan Huygens，1629～1695)在巴黎了解到了这件事情，也参与到了研究之中。惠更斯认为赌博的值是随机变量（或分布）的均值，蕴含了对继续赌下去的一种理想化的期望所得，于是改“值”为“期望” (expectation)，并于1657年把它写成一篇名叫《论赌博中的计算》的论文中，由此形成了概率论当中一个重要的概念------数学期望。

帕、费2人在1654年的这些信件奠定了概率论的基础，因此数学史上把1654年7月29日，就是帕斯卡第一次写信给费马探讨梅雷问题的日子，作为概率论的诞生之日。

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[责编：雨滴]

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