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中值定理之我见

作者:马同学高等数学发布日期:2019-10-22 09:24浏览次数: 来源:微信公众号

中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理,也是微积分学的理论基础,在许多方面它都有重要的作用,在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。

中值定理之我见

图一

1 罗尔中值定理

1.1 直觉

这是往返跑:

中值定理之我见

图二

可以认为他从A点出发,经过一段时间又回到了A 点,画成s-t (位移-时间)图就是:

中值定理之我见

图三

根据常识,因为要回到起点,中间必定有速度为0的点:

中值定理之我见

图四

拳击比赛中,步伐复杂:

中值定理之我见

图五

但不论怎样,只要最后回到起点,中间必定有速度为0的点:

中值定理之我见

图六

这就是罗尔中值定理。

1.2 罗尔中值定理

设函数满足以下三个条件:

f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续

• f(x) 在开区间 (a,b) 上可导

• f(a)= f(b)

则存在ξ ϵ (a,b)   ,使得f’(ξ)=0 。

f(x) 在闭区间 [a,b] 连续是必须的,否则有可能没有 f’(ξ)=0 :

中值定理之我见

图七

在开区间 (a,b) 可导也是必须的:

中值定理之我见

图八

1.3 拓展

定理中的条件“f(x) 在闭区间 [a,b] 连续、在 开区间(a,b) 可导”是否可以更改为“f(x) 在闭区间  [a,b] 连续、在 闭区间[a,b] 可导”?

不行,这两者并非同一个条件,举一个反例:

中值定理之我见

图九

此函数在图像如下:

中值定理之我见

图十

此函数就是在 [1,0] 连续,(1,0) 可导,在端点 x=0,1 处导数不存在(类似于 xsin(1/x) 在0点处不可导,可自行证明)。

2 拉格朗日中值定理

来看下交通管理中的区间测速:

中值定理之我见

图十一

时间a 采集到汽车的位移为 f(a) ,时间b 采集到汽车的位移为 f(b):

中值定理之我见

图十二

可以据此算出平均速度为:[f(b)-f(a)]/(b-a)

比如算出来平均速度为 70km/h ,平均速度是由瞬时速度叠加的结果,那么路程中的瞬时速度可能为:

• 匀速前进:那么整个路程的瞬时速度必然全为 70km/h

• 变速前进:整个路程的瞬时速度必然有大于、等于、小于 70km/h 的情况

下面是变速前进的速度变换动画(蓝色为大于,闪烁为平行即等于,绿色为小于):

中值定理之我见

图十三

如果限速 60km/h ,那么根据汽车的平均速度为 70km/h ,就可以判定路程中必然至少有一个点超速。

中值定理之我见

图十四

约瑟夫·拉格朗日伯爵,法国籍意大利裔数学家和天文学家,以他命名的拉格朗日中值定理就可以在数学层面解释刚才的现象。

2.1 拉格朗日中值定理

设函数满足以下两个条件:

• f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续

• f(x) 在开区间 (a,b) 上可导

则存在 ξ ϵ (a,b) ,使得:

f’(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)

这个定理的几何意义就是,至少存在一点的切线与端点的连线平行;物理意义是,至少存在一点的速度与平均速度相等:

中值定理之我见

图十五

把它旋转一下,使得 f(a)=f(b) :

中值定理之我见

图十六

得到的就是罗尔中值定理,可见罗尔是拉格朗日的特例:

中值定理之我见

图十七

3 柯西中值定理设函数

f(x),g(x) 满足以下条件:

• f(x),g(x) 在闭区间 [a,b] 上连续

• f(x),g(x) 在开区间 (a,b) 上可导

• ∀xϵ (a,b) 有:g’(x)≠0

则存在ξϵ(a,b)  ,使等式

[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]= f’(ξ)/ g’(ξ)

成立。

可以把 f(x),g(x) 组合成参数方程:

x=f(t)

y=g(t)

这样柯西中值定理就有类似于拉格朗日中值定理一样的几何意义:

中值定理之我见

图十八

如果:

x=x

y=f(x)

那么柯西中值定理就变为了拉格朗日中值定理,所以拉格朗日又是柯西的特例。

4 总结

三大微分中值定理的联系与区别:

中值定理之我见

图十九


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[责编:雨滴]

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