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千年伟人“马克思”的数学渊源——辩证的微积分(上)

作者:算法与数学之美发布日期:2019-10-17 17:46浏览次数: 来源:微信公众号

我们所知道的马克思是一位伟大的哲学家,被全球评选为第二千年排名第一的伟人,但是我们不知道的是马克思一生酷爱数学,他数十年如一日地利用闲暇时间钻研数学,并且留下了很多数学手稿。

马克思研究的数学问题多与经济学紧密结合,而19世纪60年代之后,马克思阅读研究了大量微积分方面的书籍,也为撕下微分学的神秘面纱所做的一份努力。小编将其展示如下,供读者们阅览。

马克思(1818—1883)的伟大贡献,正像恩格斯在马克思墓前演讲中所说的:达尔文发现了有机界的规律,马克思发现了人类的发展规律,揭示了基础和上层建筑的相互关系;他在对资本主义生产方式进行深入的研究中,他发现了“剩余价值”,从而获得了开启资本主义社会奥秘的钥匙。

千年伟人马克思

千年伟人“马克思”的数学渊源——辩证的微积分(上)

图片1马克思

在20世纪与21世纪之交,人们在告别人类纪元第二个千年,迎接第三个千年到来的时候,英国剑桥大学文理院的教授们在1999年发起了一个评选“千年第一伟人”的活动,征询、推选和投票的结果是:马克思第一,爱因斯坦第二。

随后,英国广播公司(BBC)在国际互联网上进行全球投票评选第二个千年的前10名思想家,其结果为:马克思第一,爱因斯坦第二。接着,路透社又邀请各界名人再行评选时,爱因斯坦以一票之多领先于甘地和马克思。依据这一系列的评选结果,人们公认马克思和爱因斯坦(1879—1955)应并列为千年第一伟人。

凡读过马克思的着作,特别是《资本论》的人,都为马克思的学术研究及其学术成就而折服。他对所研究的,不但拥有丰富的实际资料,而且占有大量的资料,在论述中,不但处处闪耀着深刻的思想火花,尤其渗透着那种一步一步深入进去的强有力的逻辑力量。

北京大学的江泽涵教授是我国着名的数学家,是我国拓扑学研究的奠基人,也是马克思《数学手稿》的最主要译者,他读了《资本论》第一卷以后,深有感慨地说:“马克思研究资本主义的方法同我们研究数学的方法是一样的,《资本论》的论证方法同我们的数学论证方法一样,都是严密地从逻辑上一步步推理和展开,真是无懈可击,令人信服。”《资本论》作为研究早期资本主义社会的经典着作,展显为一个逻辑严密的理论体系,正因为其研究方法之缜密而至今仍然得到全世界学者们的高度赞赏。

千年伟人“马克思”的数学渊源——辩证的微积分(上)

图片2资本论

恩格斯称马克思为“巨匠”。他说,马克思研究的科学领域是很多的,而且对任何一个领域都不是肤浅地研究的,甚至在数学领域也有独到的发现。

马克思一生酷爱数学,从19世纪40年代起,直到逝世前不久,数十年如一日地利用闲暇时间钻研数学,给我们留下了近千页数学手稿,其中有读书摘要、心得笔记、评述以及一些研究论文的草稿。20世纪30年代以后,马克思的数学手稿和其他手稿一起,被保存在荷兰首都阿姆斯特丹的国际社会史研究所的档案馆中。

数学研究紧密结合经济学研究

起初马克思在与恩格斯和其他人的通信中讨论初等数学问题居多。例如,他在1864年的一封信中有关于数字的议论:“可以看出:不太大的计算,例如在家庭开支和商业中,从来不用数字而只用石子和其他类似的标记在算盘上进行。在这种算盘上定出几条平行线,同样几个石子或其他显着的标记在第一行表示几个,在第二行表示几十,在第三行表示几百,在第四行表示几千,余类推。这种算盘几乎整个中世纪都曾使用,直到今天人还在使用。

至于更大一些的数学计算,则在有这种需要之前古罗马人就已有乘法表或毕达哥拉斯表,诚然,这种表还很不方便,很繁琐。因为这种表一部分是用特殊符号,一部分是用希腊字母(后用罗马字母)编制成的。……当做很大的数的计算时,旧方法造成不可克服的障碍,这一点从杰出的数学家阿基米德所变的戏法中就可以看出来。”

1864年5月30日,恩格斯在给马克思的信中写道:“看了你那本弗朗克尔的书,我钻到算术中去了;……以初等方式来陈述诸如根、幂、级数、对数之类的东西是否方便。不管怎样好地利用数字例题来说明,我总觉得这里只限于用数字,不如用a+b作简单的代数说明来得清楚,这是因为用一般的代数式子更为简单明了,而且这里不用一般的代数式子也是不行的。”

千年伟人“马克思”的数学渊源——辩证的微积分(上)

图片3代数运算

马克思关于数学的笔记和他学的材料有紧密的联系。在1846年的一个经济学笔记本中,最后几页全是各种代数运算;在以后的许多笔记本中也都记有数学公式和图形,还有整页整页的算草;在为撰写《政治经济学批判大纲》准备材料的笔记本中他画了一些几何图形,记录了关于分数指数和对数的公式。1858年1月11日马克思在致恩格斯的信中说:“在制定政治经济学原理时,数学计算的错误大大地阻碍了我,失望之余,只好重新坐下来把代数迅速地温习一遍。算术我一向很差,不过间接地用代数,我很快又算正确的。”马克思曾为自己能把高等数学的某些公式用于经济学的研究而深感高兴。

1868年1月8日马克思写信给恩格斯谈到工资的研究时,他说:“工资第一次被描写为隐藏在它后面的一种关系的不合理的表现形式,这一点通过工资的两种形式即计时工资和计件工资得到了确切的说明(在高等数学中常常可以找到这样的公式,这对我很有帮助)。”

看来,马克思的数学兴趣与他希望把数学运用于经济学研究有关。在1873年5月31日给恩格斯的信中谈到经济危机的研究时,他说:“为了危机,我不止一次地想计算出这些作为不规则曲线的升和降,并曾想用数学公式从中得出危机的主要(而且现在我还认为,如有足够的经过检验的材料,这是可能)。”在《资本论》中我们也能看到数学的运用,据拉法格回忆,马克思曾经强调说:一门只有当它达到了能够成功地运用数学时,才算是真正的科学。

对微积分的、思索和考察

19世纪60年代以后,马克思陆续阅读了一大批微积分方面的书籍,其中有布沙拉、辛德、拉库阿、霍尔等人各自编写的微积分教科书,还有牛顿有关的数学原着等,他写下了详细的读书笔记。

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图片4-马克思《导函数的概念》手稿的第一页

(戳记系原稿保存单位加的)

马克思对这些教科书进行比较,开始了自己对于微分学中一些问题的独立的思考。在1881年前后,马克思撰写了关于微分学的历史发展进程、论导函数概念、论微分以及关于泰勒定理等问题的研究草稿,而且对于这些问题都曾写过多遍草稿,例如,关于泰勒定理留下了八份草稿。

马克思把微分学看作科学上的一种新发现、新事物,考察它是怎样产生的,产生以后遇到一些什么困难,经历了怎样的曲折发展。马克思对微积分有过一段生动的而又富有哲理的描述:“人们自己相信了新发现的算法的神秘性。这种算法通过肯定是不正确的数学途径得出了正确的(尤其在几何上是惊人的)结果。人们就这样把自己神秘化了,对这新发现评价更高了,使一群旧式正统派数学家更加恼怒,并且激起了反对的叫嚣,这种叫嚣甚至在数学界以外都产生了反响,而为新事物开拓道路,这是必然的。”

马克思把从牛顿(1642—1727)、莱布尼茨(1646—1716)创建微分学到拉格朗日(1736—1813)的发展,将微分学大约一百多年的发展过程分为三个阶段,分别称为:“神秘的微分学”、“理性的微分学”、“纯代数的微分学”。在牛顿和莱布尼茨时期,新生的微积分很快在应用上获得了惊人的成功,但是从旧的传统数学看来,这种新算法,比如微分过程,正是通过不正确的数学途径得到正确的结果的。在同一个公式的推导过程中Δx和dx既作为有限的量,却又消失为零,在逻辑上显示出矛盾;有时为什么能有确定的值等等,数学家们还不能从根本上给出合理的解释。人们认为微分学是神秘的。

千年伟人“马克思”的数学渊源——辩证的微积分(上)

图片5牛顿和莱布尼茨

牛顿和莱布尼茨,以及后继者们都希望给微分学找到合乎逻辑的说明,他们为此付出了很大的努力。以达朗贝尔(1717-1783)为代表的“理性的微分学”和以拉格朗日为代表的“纯代数的微分学”,都是这种努力在某个阶段的成果。马克思指出:“这里,像在别处一样,给科学撕下神秘的面纱是重要的。”


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