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“卡瓦列利是阿基米德之后在钻研几何学的深度和广度方面绝无仅有的人。”——伽利略

“几何图形是由无数多个维数较低的不可分量组成的。”——卡瓦列利

卡瓦列利是意大利数学家，1598年生于米兰，1647年11月30日卒于波伦亚。

卡瓦列利出生于一个贵族家庭，15岁时被接纳加入宗教团体“耶稣团”，18岁加入比萨修道院。在该修道院中，他有幸遇到一位曾经和伽利略一起研究过数学的僧侣卡斯泰利。在卡斯泰利的指导下，他对希腊数学家的有关着作进行了研究，并经卡斯泰利的介绍，认识了伽利略，而且建立了通信联系，他自称是伽利略的学生。卡瓦列利在修道院讲授神学并担任过修道院院长，而且以学识渊博着称，由于对数学的浓厚兴趣，他希望到大学去研究和讲授数学，在伽利略的大力推荐下，他31岁时终于如愿以偿。从1629年起直到逝世，他就一直任波伦亚大学的数学教授。

不可分原理

卡瓦列利对数学的最大贡献是建立了“不可分原理”。在开普勒和伽利略的影响下，他把源于经院哲学的“不可分量”的观念，发展成为几何方法。并于1635年发表了名着《用新方法促成的连续不可分几何学》。全书共分为七卷：第一卷阐述关于平面和立体图形的一些假设；第二卷引入了不可分量方法，并且证明了一些关于不可分量总体的一般定理，其中包括有深远影响的关于平行四边形中的线段和组成它的三角形内线段关系的两个定理；第三、四、五卷中主要是第二卷定理的应用——求与圆锥曲线有关的面积和体积；第六卷主要是探讨与螺线有关的面积，但也涉及柱面、球曲、抛物面和球体的一些结果；第七卷中进一步阐述了不可分量方法的依据，提出了卡瓦列利原理。卡瓦列利认为：“几何图形是由无数多个维数较低的不可分量组成的。”即面积是无数个等距平行线段构成的，体积是无数个平行的平面面积构成的。他分别把这些元素叫做面积和体积的“不可分量”，并承认组成面积或体积的不可分量的数目一定是无穷大的，但他不想在这点反复推敲。

粗浅地说（正如他在1647年出版的《六道几何练习题》中指出的），不可分法认为线是由点构成的，就像项链是由珠子穿成的一样；面是由直线构成的，就像布是由线织成的一样；立体是由平面构成的，就像书是纸页组成的一样，不过，它们是对无穷多个组成部分来说的。他首先在两个给定的几何图形的不可分微元之间建立起一一对应关系，如果两个给定图形的对应的不可分量具有某种（不变的）比例，便可断定两个图形的面积或体积也具有同样的比例。这种方法所依据的一个原理现在仍称为卡瓦列利原理：“同高立体中，同高截面有相同比k，则体积比为k。”（这个原理中国数学家祖暅比卡瓦列利早一千多年就得到了，所以应称祖暅原理。）他运用这个原理证明了圆锥的体积是外接圆柱体积的1/3。

不可分原理的后续发展

卡瓦列利的不可分原理不仅对初等几何作出了有意义的直观解释，给出了计算面积和体积的有效方法，而且这种用不可分求和的原理就是尔后的定积分概念的雏形。他还最先使用极坐标来求阿基米德螺线下的面积。从他的《用新方法促成的连续不可分几何学》中，还可以发现应用微分概念求极值的某些定理，例如，该书的第一个命题就包含着与罗尔（Rolle）定理等价的推断。

卡瓦列利的“不可分量”有点像图形的原生部件。他的不可分原理由于缺乏逻辑上的严密性，引起同时代一些数学家的异议，对他抨击最激烈的是瑞士数学家古尓丁。卡瓦列利试图通过改造自己的方法来排除各方向的非议，但未获成功。有时他宣称这种方法只是为避免“穷竭法”而采用的一种方法，并强调这一方法能够引向新的创造。事实也是如此，他的《用新方法促成的连续不可分几何学》与《六道几何练习题》的发表，鼓舞了许多数学家，特别是法国数学家，使他们能够用比较容忍的态度去对待无穷小量的概念，以更抽象的方式去研究更为普遍的问题。除了阿基米徳的着作外，卡瓦列利的这两本着作成为后来研究几何学中无穷小问题援引最多的文献，而且系统地用无穷小方法计算面积和体积也是通过这两本书而得到推广的。

卡瓦列里的贡献

1629年伽利略曾说：“卡瓦列利是阿基米德之后在钻研几何学的深度和广度方面绝无仅有的人。”他的不可分量在后来牛顿的瞬时概念和莱布尼茨的微分概念中都有所反映，因此，卡瓦列利的理论是通向无穷小和微积分学的阶梯。从某种意义上讲，新的分析学是从他的《用新方法促成的连续不可分几何学》开始的。

卡瓦列利还写有《取火镜、国锥曲线论》（1632年）、《平面和球面三角学、线性和对数三角学》（1643年）、《一百道杂题》（1639年）、《天体测量常用指南》（1632年）等着作，他是最早认识到数价值的人之一，也是对数在意大利的最先传播者。

卡瓦列利是17世纪意大利最有影响的数学家，是微积分学的重要先驱。

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[责编：雨滴]

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