在高中,不少人通过题海战术来达到熟练,这种熟练重视了应试技巧和知识记忆,但忽视了对数学的独立思考和对数学的深入理解。那我们怎么学好数学呢?
华罗庚先生用简明的三字口诀告诉青年朋友们,数学学习关键在“化”,也就是要避免死记硬背,而重视对基本原理的理解和实际运用,真正的高手“摘花飞叶皆可伤人”,真正学习数学就是在生活中时刻能注意到对“数”、“形”的思考,而做到“熟”、“练”、“化”本质在于一种艰苦努力、勤于思索的学习态度。
四、要达到“化”,就要“熟”和“练”
同学可以说,学知识要消化,我们同意,但怎样才能达到消化的程度呢?我认为要达到“化”,不外“熟”和“练”。
什么叫“熟”?把知识念“熟”很重要,但是我说的“熟”不是和尚念经那样的熟,而是消化了的“熟”,就是每复习一遍都有所提高。什么叫“练”呢?大家可能想“练”就是多做习题。这当然不错,但是练不能盲目的练,要有先复习后作题的习惯,要会分析题,真正弄明白了再去做习题,不要机械地套公式。练也不只是多练,经常练,而且更重要的是活练。比如,同学们家中可能有小弟弟,小妺妹,他(她)们来问你问题,你不愿回答,这样,一是风格不够高,再就是你失去了一个练的机会。这实际上是一个很好的锻炼机会,看了会不会,会,就启发小弟弟小妹妹去做,不会,你就复习复习,说明有些东西过去没搞清楚再加加工,这是好机会,别等数学考试考不出来才去复习。
在锻炼里,最重要的问题是“活练”,也是今天讲的中心问题。活练的意思是:看见问题就想一想,问一问为什么?动动手看会不会。
有没有问题?问题多得很。如茶杯有没有问题,有人说这是喝茶的,没有数学问题。其实看到茶杯可以想到很多数学问题:第一,从来没有见到茶杯盖掉进茶杯里,但方的茶叶筒盖子却经常掉进去,椭圆的也会掉进去。思考问题就来了:是不是还有别的形状的盖子不能掉进去?这样后来试了试,方的不行,六角的、八角的,椭圆的都不行,这样就会想到,除了圆以外都不行了。但我要告诉大家,的确有别的图形掉不进去,如拿一个两脚规,固定一端为圆心划弧,然后把另一端固定在所划弧上,以同样半径划弧,再以两弧的交点为圆心,以同样的半径划弧,就得到三个弧交点的图形(图1)。这样的图形掉得下去否,大家不妨试一下,想一想。
又例如,在搞农业硏究时,研究光合作用,需要量稻叶的面积,怎么量?同学的回答一定是不会量,因为大家只学了三角形、四边形和圆的面积。农业科学家有一个办法,他们是用长度ⅹ宽度/1.2的公式,长是稻叶顶端到柄的距离,宽是叶子最宽的地方。这公式是根据统计材料得出来的,是一个植物学家量了多少万张稻叶得出来的这个规律。但有一次,在一实验里密植高度的情况下,他们也这么量,长宽相乘再除1.2,我说这个不能除1.2,如果这样做误差太大了。一量的确是误差很大。他们很奇怪,就问我“为什么你能说误差很大呢?”学过数学的人听了这个方法就要想一想,1.2是什么意思?首先我想到如果是两个长方形加一个三角形(图2),不是6:5吗?刚好是1.2,所以如果稻叶收尖在2/3的地方,这个方法是误差不大的,但是密植出来的稻叶收尖开始得早了,再用这个公式当然就不合适了。
类似这样的问题很多,甚至走路都会走出问题来。比如,当我们看到城市里指挥交通的红、黄、绿三种灯时,就出现了是否要三盏灯的问题。(两盏行不行,先思考一下,再考虑一下红灯是停止信号,黄灯有透雾作用等等。)
上面讲到茶杯,就会想到茶杯为什么不矮一点呢?立刻就会想到:一个茶杯盛同样多的水,怎样构造用的材料最少?高中的同学都可试试想能不能解决这个问题,假定是圆柱体,分有盖、没盖两种情况来研究。
这个图是取自PeterLax等着《微积分及其应用》(林开亮等译,科学出版社,2018年)
再例如,看到房梁就会想到,如果给了一块木头,要做一个方梁,怎样截取受压最好的问题。这牵扯到材料力学了,同学们还解决不了。我告诉大家一个切法。如果给的是一个圆柱,那么可以把它的值径分成三等分(图3),在距直径一端1/3的地方向上作垂线,和圆相交于一点,连接这点和直径的两端。同样,在距直径另一端为1/3的地方,向下作垂线,也可以得到另外一交点,连接这个点和直径的两端。按这样的图形切下来的方梁受压最好。
再以计算洲际导弹射程为例:如果从地球北半球上某一地点向南面某一地区——比如象图5所表示的有P?,P?,P?,P?四点坐标的地区——发射洲际导弹,我们可以从这已知的四点算出导弹的射程有多少;也可以找到它的发射地点。试想一想,为什么看了四点就知道射程了呢?
我们还是先来看个例子。普通打枪打炮时,他一定会给出一个扇形的危险区域。因为打炮时有两种可能性,一种是炮口上下摆动;一种是炮口左右摆动,出发点是同一个。如果要防止别人受伤,一定要给个有把握的范围,这样就给出了扇形的上下和左右边。我们一知道范围,就知道炮弹是从那儿打出来的,即扇形左右两边延长线的交点就是(图4)。
现在我们把洲际导弹射达区域放到地球上(P?,P?,P?,P?)来,见图5,不解释大家也知道,通过左面两点和球心作一平面,再过右面两点和球心作一平面,得到两个大圆,它们在球面上的交点,就是我们所要找的发射地点了。当然是不会那么准确。因为这是中学生的办法。这个问题不只启发了这一点,还可以把它的准确度算来。还有,上面的两点距离长,下面的两点距离短,是因为它的射程超过了地球周长的1/4,为了帮助低年级的同学们了解得更好,我们用一个更简单的办注,拿一个地球仪来,把这四点的位置钉上大头针,用两根铅丝做成两个和地球仪赤道半径相同的圆周,通过给定的左面和右面的两点套上去,这样两个圆的交点就是我们所要求的地方。有人问:“哪一年级的学生能算出来?”我认为,念过立体几何的可以试一试,学过立体解析几何的一定行。当然,学过球面三角会更好些。对数学好一点的人,没学过立体几何也能算出来。
从这里看出,要学好数学,一定要经过艰苦的劳动,不断的思考问题,经过失败,然后才能解决问题。有的同学问,学数学是不是要有天才,我个人看法,最主要的还是在于努力。两个人,有一个天资稍差一点,但他努力,主观上艰苦些,碰到问题多想想,反而还会长进得快些。
大家一定很爱看课外读物,像《十万个为什么?》等书,这是好书,我个人也很喜欢。看这些书主要问题是用什么样的水乎去看,你是用小孩的身份看,还是用大人身份看。象《十万个为什么》这样类型的通俗读物有些同学看了,多想一想,很可能想出的比十万个问题还多。
例如有些书上说人造卫星第一宇宙速度是8公里/秒,一般书上说的理由是,圆形的轨道就掉不下来。但是椭圆轨道的人造卫星不是也掉不下来吗?为什么8公里得出圆形轨道?又说卫星有时走得快,有时走得慢,书上也有个解答。难道这些就能满足我们的求知欲吗?(这些问题大家念到微积分时,就可以进一步得到解答。)
最近,我看了一批通俗书,谈到关于蜂房的问题,书上是这么说的:
如果把蜜蜂放大到人体一样大小,那么蜂箱就会成为一个上面挂下来的面积二十公顷、开口向上的密集的立体市镇。上面有成千上万个六角形的蜂房。为什么是六角形?这到底有什么好处呢?
十八世纪,法国一个学者马拉尔琪(GiacomoF.Maraldi)曾经测量过蜂窝的尺寸,得到一个有趣的发现,即蜂房的六角有一定规律,钝角有109°28′,锐角等于72°32′,难道这是偶然的现象吗?法国一个物理学家列奥缪拉想,是不是为了使材料最节省,容积最大呢?他请了法国科学院院士、瑞士数学家克尼格(JohannSamuelK?nig),经他计算的精果,使人非常震惊,因为他从理论上计算出,要使消耗材料最少,制成最大的菱形容器,一个角是109°26′,另一个角是70°34′。这与蜂窝的角度只差两分。给大家介绍一下两分是多少。时钟的钟面是360°,5分钟就是30°,一分钟是6°,把一度再分成60分,而在这里才相差两分。相差的已经是很少了。后来,苏格兰一位数学家麦克劳林(ColinMaclaurin)进行了计算,发现科学院院士算错了,因为他用的对数表有错,刚巧用到的是错误的数字。这很有趣,达尔文有句话“如果有人看见密蜂窝,看到这样构造而不倍加赞扬,那么这个人一定是煳涂虫。”
有些同学可能也看到过这个问题,碰到这个问题是不是就来个“有趣”,等于看了段《西游记》就过去了呢?不能这样,要问一问,我们是不是能算出109°28′?由这个问题启发我思考了好几个月。困难在那里?首先这个问题题不能成为数学问题,因为它是六角形,钝角是109°28′,锐角是70°32′,我不懂。六角形内角和是720°,平均一个角是120°,每一个角都比120°大,它所说的最大的不过是109°28′,这是什么意思?又说是菱形,怎么立体图形是六角形又是菱形?猜过来猜过去不对头,刚巧有机会碰到一位昆虫学家,给我个蜂窝看看,看过之后了解了,确实挺简单,几分钟内就解决了。现在给大家介绍一下。
给了个六棱柱,(图6)。它的一端的形状是ABCDEF正六角形,通过AC,一刀切(斜切)下一角,拿这个角(四面体)过去,装到顶上,过AE,CE如此同样各切一刀,所堆成的形状(图7)就是蜂房底部的形状。
数学老师要求你们学好数学有三点:一是熟练的运算能力;二是严格的逻辑推理;三是空间的几何想象能力。刚才讲的是一个六棱柱,通过不相邻的两个顶点切下来的是一个四面体,然后将这三个四面体堆在六棱柱顶上,四面体的顶点(B,D,F三点)和底面的中心重合,这样就成为以六棱柱为基础的三块菱形收尖的形状的物体(图7)。书上说的那个角度,就是这个菱形的角度,不是六角形的角度。它的底是一个六棱柱,顶是个尖顶形。
大家看了后,脑子会煳涂,我们用个简单问题启发一下,例如一个四方柱(图8),可以切成许多不同的形状,一个办法是在距一双对边各1/4的两个地方切下来(斜切),然后把它们竖到顶上。这样得到一个上面象一个房顶(屋嵴),下部是一个四方柱的物体(图9)。
还有许多别的切法,如过相邻两边的中点切下来,得到四个四面体(图10)将它们竖到四方柱的顶上,得到一个下部是四方柱,上部是四个菱形收尖的物体(图11),看了这两个例子,六棱柱的切法就容易想象了。
现在我先提一个初等问题,然后再说难一点的问题,还是拿六柱来作例子(图6),通过A,C两点在B棱上取X长切下来,然后过C、E点在D棱上取X长切下来,在下棱上过A,E两点和上面作法一样。现在问:怎样的X,使所得的尖顶六棱柱表面积最小,这问题比较好办。(我和大家说明,并不是这个问题搞了我三个月。首先,碰到这个问题就放到脑子里了,不过我没有把它丢在脑后。当然,有许多理由我可以把它丢在脑后,例如这是人家已经解决的问题,可以不必想了;第二个理由是我的教学任务很忙,又有硏究工作,可能还要开会。这些都是理由,都可以使我放弃这个锻炼机会。不过有一个理由我不能放弃,就是我不会,不会就得想一想,我就是根据这个理由和大家提出这个用题来的。)这样就把原先是几何问题化成了代数问题,变成X在什么情况下,函数取最小值的问题。
把问题从几何学问题转到求最小值的问题,像我们念过高等数学的,知道用微积分一下就出来了。但不能满足,我还要对中学生作报告,就想想能不能用初等方法(例如高中数学)来解决。我给了四个方法,后来我去南京师院附中给学生讲过后,他们来三个方法,有一个高的同学也拿来做了,北京师大女附中的一位高一同学也给了我一个很好的解法,所以这个问题不是个难题。
可是,这个题还末达到应有的高度,因为我们还要想一想,是不是只有这一个切法,为什么只能从六棱柱切下来,用四棱柱是不是好一点?这样出现的题就更多了。所以,问题的真正提法是,不提四棱、六棱,只告诉要造一个对象,凑起来填满空间需要的材料最少是什么?这个问题难了,不是中学生的水平能解决的。
同学们不妨试一试:求出使切出的面积最小的X,看菱形的角度是不是109°28′,70°32′。第二个问题是六棱柱有没有别的切法也能达到同样的作用(可以填满空间),如果是切拼后的四方柱,是不是对得起来?在什么样的情况下,用的材料最少,表面积最小。大家可以拿这几个问题练练功。
注意练完不能就算完了,还可以再想一想,例如蜂房这个图形在别的地方见到过没有,看到这个109°28′很怪,实际上在结晶学和化学中都有这种情况,这样我们就发现,这并不是从天上掉下来的。
我讲的主要目的是给大家上一堂补充课。有的同学让我谈数学有什么用场,为什么学数学?我讲到这几点,大家可以看出,数学有这么多用场,而且在许多领城中都会用到。为什么?这是因为数学是研究数量关系和空间形式的科学。凡是有数量关系的地方,都有数学问题。在日常生活和生产劳动中,有很多重要的数量问题需要我们去解决。因此,数学是一门重要课程。在中学时代必须认真学好这门课程,掌握这一工具,把基础打好。
现代技术科学知识发展极为迅速,为了尽快地把我国建成为社会主义的强国,党号召我们树雄心,立大志,攀登世界科学技术高峰。在攀登科学技术高峰中,数学是其中的一个重要方面,同时也是其它科学的主要工具和助手。我希望你们努力学好数学,将来在祖国的建设事业中做出更多的贡献来。
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