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微积分先驱|帕普斯谱写的几何安魂曲

作者:《微积分创立者及其先驱》发布日期:2020-06-05 15:31浏览次数: 来源:书籍整理

上帝已将最出色最完美的智慧和数学的理解力赋予了最优秀的人类。

帕普斯(Pappus)(约300-500)

“帕普斯的《数学汇编》是名副其实的几何宝库,……它可以称为是希腊几何的安魂曲。”——伊夫斯

“……上帝已将最出色最完美的智慧和数学的理解力赋予了最优秀的人类……”——帕普斯

帕普斯是希腊亚历山大晚期的数学家。约300年生于亚历山大;约350年卒于亚历山大。

帕普斯的巨着《数学汇编》是一部名副其实的几何宝库,我们关于希腊几何的大部分知识是靠这部巨着,它引用和参考了三十多位古代数学家的原着,系统地介绍了古希腊数学家最重要的着作,并附有它们的历史发展过程、已有定理和命题的某些改进和变动以及一些原始材料,其意图是作为原着的索引。每一卷都有系统的序言,明确地指出所论题目的内容及其范围,是一部极珍贵的史料。美国数学史家伊夫斯(Eves)说:“帕普斯的《数学汇编》是名副其实的几何宝库,……它可以称为是希腊几何的安魂曲。”这部书共有8卷,但第1卷和第2卷的一部分已失传。

帕普斯在《数学汇编》里,不但对希腊古典时期和亚历山大(Alexander)时期的许多数学着作作了评价,而且还进一步发展了前人的思想,列入了自己研究的成果。

他在第7卷中发表了一个着名定理:平面图形绕同一平面内且不与之相交的轴旋转,所生成的体积等于这个图形的面积乘以图形重心所描画出的圆周长。但他没有给出这个定理的证明。一千多年后瑞士数学家古尔丁(Guldin)重新独立地发现了这一定理,从而后来叫做“古尔丁定理”。古尔丁也没有严格证明,最早的证明是卡瓦列利用不可分原理作出的。

他在第5卷中给出了塞诺多拉(Zenodorus)关于等周曲边形问题的证明、结果和推广。例如,他得出了:周长相等的所有弓形中以半圆的面积最大。他证明了:球的体积比表面积与其相等的任何圆锥、圆柱或正多面体的体积都大。他还在“论蜂巢的几何”中阐明了蜜蜂六棱柱的巢是一种所谓最“经济”的形状,在其他条件相同的情况下,这种形状容积最大。为此,他曾风趣地写道:“尽管上帝已将最出色最完美的智慧和数学的理解力赋予了最优秀的人类,他同时也分赐某些非理性的生物一点灵性。”

微积分先驱|帕普斯谱写的几何安魂曲

帕普斯定理

在他的这部着作中还载有着名的“帕普斯问题——如果从任一点作直线与五条具有给定位置的直线在各个给定角度上相交,并且其中三条直线所围之长方体的体积与其余两条直线和这一给定直线所围之长方体的体积的比是指定的,则该点将落在给定位置的曲线上。如果有六条直线,并且其中三条所构成的上述立体与其余三条所构成的立体的体积之比是指定的,则这一点仍将落在给定位置的曲线上。”这个问题之所以着名,是因为笛卡儿(Descartes)曾试图用分析方法解决它,并在几种情况下求出了必须使该点落于其上的曲线,导致他发现了解析几何学的原理。

帕普斯所说的“极小是奇特的性质",启发了费马得出了求极大、极小值的十分巧妙和富有成效的公式。

帕普斯还证明了:与定点(焦点)及定直线(准线)的距离成一定比例的一切点的轨迹是圆锥曲线。在他的着作中出现了属于射影几何范畴的概念:例如,对合、非调和比等。他还证明了圆锥曲线内接六边形的“帕斯卡(Pascal)定理”的特殊情形。

帕普斯是亚历山大最后一位富有创造性的数学家。他的《数学汇编》不但是一部对他那个时代存在的几何着作的综述评论和指南,而且它又使数学家对希腊几何学的兴趣从衰微中重新恢复起来,从而推动了数学的发展。

微积分先驱|帕普斯谱写的几何安魂曲

天体仪

帕普斯是一位博学多才的学者,他还对狄奥多罗斯(Diodorus)的《论天体仪》、托勒密(Ptolermy)《大汇编》、《平球法》和《谐音》以及欧几里得的《儿何原本》等书也作了评述。他对托勒密的天文体系的评注,促使了该体系在以后一千多年间的流行和普及。


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[责编:雨滴]

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