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菲利克斯?克莱因，德国数学家，一生在数学多个领域有重要贡献，他的主要课题是非欧几何、群论和函数论。他的将各种几何用它们的基础变换群来分类的爱尔兰根纲领（1872年在埃尔朗根大学就职正教授的演讲）的发表影响深远：是当时数学内容的一个综合。着作有《高观点下的初等数学》。

面对着这种复杂多样的数学学科，克来因的突出贡献就是用群的观点来统一整个数学，具体来说就是：

1.提出埃朗根纲领，用变换群的观点统一几何学；

2.用几何学及群的观点来研究五次及五次以上代数方程及线性常微分方程；

3.用群与几何学的观点来研究函数论，发现自守函数，它是椭圆函数等的重大推广.这样通过群把几何学、代数学、分析学连接成一个统一的数学整体，通过他和别人的工作，直接或间接联系上代数数论、不变式论、数学物理等等学科.

Ⅰ几何学与埃朗根纲领

在埃朗根纲领之前，克莱因从1870年到1872年发表过五篇论文，其中“论所谓非欧几何学”(berdiesogenanntenicht-euk-lidischeGeometrie，1871)成功地把各种度量几何归结为射影几何.早在1822年J.V.彭塞列(Poncelet)在他的书《论图形的射影性质》(Traitédespropriétesprojectivesdesfigure)中已经指出，虽然射影性质及度量性质有所区别，射影性质在逻辑上更为基本.K.G.C.施陶特(Staudt)在《位置几何学》(GeometriederLage，1847)中引进“投”的概念，在摆脱长度与角度的情形下建立射影几何学(克莱因在1870年指出，施陶特仍用到平行公理从而不够纯粹).在普吕克尔的指导下，克莱因读了凯莱的着作，后者成功地把平面中欧几里得度量(长度及角度)用射影几何的语言来表达，用凯莱的话讲“度量几何是画法几何(按：指射影几何)的一部分，画法几何学就是全部几何学.”克莱因在两方面大大推广了凯莱的结果：一是不仅欧几里得几何，而且把非欧几何学也包括在射影几何学内，二是在射影基础上建立坐标.凯莱的坐标概念是含混的，其中有时也用到欧氏几何的距离.而施陶特的书中又用到欧几里得平行公理，这使得他们由射影几何得到度量几何，既不够纯粹也不能推广.克莱因去掉了平行公理，使四个点、四条直线或四个平面的坐标和交比都可以在纯粹射影基础上定义.由于选为绝对形的二次曲线或二次曲面的不同.由同一距离及角度公式，可以得出双曲几何、抛物几何及椭圆几何，它们分别是罗氏几何，欧氏几何、黎氏几何.这样非欧几何与欧氏几何从射影几何学中平行地导出来，从而为射影几何学的公理化铺平道路.

克莱因对非欧几何学的贡献还有，建立平面非欧几何学的平面模型，例如在椭圆或圆之内建立平面非欧几何学，另外他还发现存在第二种椭圆几何.在通常球面模型中，两个点不唯一决定一条直线，而他指出，在所谓单重椭圆几何中，两个点永远唯一决定一条直线，他还提出单重椭圆几何的曲面模型(半球模型)，实际上这是射影平面.

克莱因成功地把各种度量几何归纳为射影几何之后，他便寻求更广泛的观点来刻画几何学的特征而不只是根据射影的性质和度量的性质以及各种度量间的区分，他提出的埃朗根纲领的基本观点是：每种几何学都由变换群所刻划，每种几何学所要研究的就是几何图形在其变换群下的不变量，而一门几何学的子几何学就是研究原来变换群的子群下的不变量.例如最一般的射影几何学在二维的情形就是研究从一个平面上的点到自身的变换群下的不变量，用射影坐标来表示，每个变换形式为

x1′=a11x1+a12x2+a13x3，

x2′=a21x1+a22x2+a23x3，

x3′=a31x1+a32x2+a33x3，

其中系数aij是实数，系数行列式不等于零.这些变换组成射影变换群，射影变换群下的不变量有：线性、共线性、交比、调和集以及保持为圆锥曲线不变等.射影变换群的一个子群是仿射变换群，仿射变换群保持一条直线l∞不变，因此仿射几何学是射影几何学的子几何学，仿射变换下的不变量除了射影几何学的不变量之外，还有把直线变成直线，平行直线变成平行直线等性质，仿射几何学虽然早已出现在L.欧拉(Euler)及A.F.麦比乌斯(Mbius)的着作中，但克莱因在他的纲领中并没有提到.克莱因进一步考虑了比仿射变换群更小的欧几里得变换群，他称之为等仿变换群，实际上其变换就是旋转、平移和反射，在这种变换群下的不变量是：长度、角度以及任意图形的大小和形状.类似地，他进一步刻划双曲度量几何，也就是研究射影平面上使一个任意的、实的、非退化的二次曲线保持不变的所有变换所构成的子群下的不变量，这个子群叫做双曲度量群，相应的几何学叫做双曲几何学，其中的不变量是与合同有关的那些量.同样，单纯椭圆几何学所研究的变换是使射影平面上一个虚椭圆不变，而二熏椭圆几何学则要复杂一些.

克莱因进一步推广了这种观点，他提出更一般的问题，给了一个流形和这个流形的一个变换群，以在这个变换群的变换之下其性质保持不变的观点研究这个流形的实体.在这广义的意义下，克莱因考虑的不仅仅是通常以点为基础的几何学，而且考虑以任何一种点集，特别是一条曲线或一个曲面为基础的几何学，例如线几何学和球几何学.但是只要取同一变换群为几何学研究的基础，那么这种几何学的内容就不会改变，所以像流形的维数只是做为某种次要的东西出现.从这种观点出发他不仅把圆几何及球几何也看成研究某些射影变换群的某些子群的不变性质，而且还更进一步扩大他的纲领的应用范围：代数几何学研究双有理变换下的不变性，拓扑学研究连续变换下的不变性等.虽然并非所有几何学都可以纳入克莱因的分类框架，但是这种观点至今对几何学仍有影响.特别是强调变换下的不变性，对于力学及物理学思想的推动，大大超出了数学的范围.

Ⅱ代数学与“超伽罗瓦纲领”

19世纪的代数学中心问题是解代数方程.N.H.阿贝尔(Abel)及伽罗瓦(Galois)作出最大的贡献：一方面他们证明一般高次代数方程不可能用根式解，另一方面给出那些五次方程可解的判据.至此，对于五次及五次以上的方程研究并未结束，数学家仍进行两方面的研究：一方面是通过超越函数来解方程，另一方面研究方程的群与方程的性质.这两方面都涉及一个任务，找出根与系数的函数关系并加以简化.历史上简化的方法有两条.一是方程的变换：最早是契恩毫斯(E.W.Tschirnhaus)变换，后来英国数学家G.B.杰拉德(Jerrard)独立发现1786年瑞典人E.S.布灵(Bring)把五次方程化简为只依赖于一个系数的结果，Ch.埃尔米特(Hermite)把它化为标准形t^5-t-A=0.

1858年埃尔米特通过椭圆函数给出其明显解.二是构造预解式.这种方法始于J.L.拉格朗日(Lagrange)1771年的工作.但是这种预解式往往带来更大的困难而不是本质的简化.只有到1858年L.克罗内克才得出一个六次的预解式，可以从另外一个途径同椭圆函数挂起钩来.克莱因发现，克罗内克实际上是做出两个发现：1.由一般五次方程加上判别式的平方根，可以得出一个预解式，它是雅可比方程；2.这样得到的雅可比方程可以简化为标准型，从而可以用椭圆函数解.克莱因早在1871年就把方程论的主要思想几何化，即把正多面体群与方程的群与预解式联系起来.对于五次方程则与二十面体群联系在一起.通过适当的坐标选择，二十面体群可以表示为一个复变元的分式线性代换，这样五次方程解可以如下得出：

1.把五次方程化为“主五次方程”

y^5+5αy^2+5βy+y=0.

2.引进

pv=y0+εvy1+ε2vy2+ε3vy3+ε4vy4，v=0，1，2，3，4，

有后一方程为一个四次曲面方程，它有一个变换方程，在五个根的120个置换之下也即p1，p2，p3，p4的120个线性代换之下不变.此即二十面体方程.

3.对于二十面体方程，z是方程的系数α，β，γ，及判别式平方根的有理函数.这样可以计算出五次方程的根y.

莱因利用二十面体群研究五次方程的方法，进一步运用于高次方程，哥尔丹戏称之为“超伽罗瓦纲领”，即“把解方程的问题归结为求最少可能变元的有限线性代换群相联系的‘形式问题’”.所谓形式问题，就是对于一个给定的射影变换群G，只通过在G中存在的不变式来计算n维点的坐标.因此，解代数方程的问题归结为给定群G的形式问题.

1884年，克莱因写了一本着作《二十面体及五次方程解讲义》，这本书大部分材料都在论文中发表过，但是这本书写得简洁明了，同时还讨论了不变式问题.这本书出版后，哥尔丹进一步地简化了书中的材料，他后来还把克莱因的理论推广到六次方程.关于六次方程的研究，克莱因交给了他的学生来作，特别是莱沙特(Reichardt)和F.N.科尔(Cole).克莱因还曾打算用四元的线性学来研究六次方程，但实际上有一位名叫H.瓦伦替那(Va-lentiner)的人在1889年发现了360阶的三元线性单群，由于这篇文章首先是用丹麦文发表的，所以没有引起注意.直到1896年，A.维曼(Wiman)注意到了这个事实，并且证明这个群同六个字母的偶置换群同构，这件事引起了普遍的惊异.克莱因在一封给G.卡斯特尔诺沃(Castelnuovo)的信中证明六次方程的一般解可以使得它依赖于这个360阶的单群而不必依赖于一个四元群，1899年它发表了，这篇文章结束了他关于代数方程的工作.

Ⅲ自守函数论

克莱因关于代数方程的几何理论涉及到有限变换群很快地推广到无限的离散变换群上，这导致自守函数论的产生.自守函数是过去熟知的三角函数、椭圆函数的推广，最简单的情形是如下的分式线性变换

所构成的群Γ，当群是不连通的时，在这些变换下不变的亚纯函数(即对于z∈上半复平面，f(z)=f(z’))称为自守函数.自守函数的名称是克莱因在1890年在“一般拉梅函数理论”一文中提出的，后来得到国际上的公认.但系统的自守函数理论是庞加莱在1881年到1884年系统阐述的，这在某种程度上使克莱因的贡献黯然失色.据克莱因自述，他关于自守函数的研究开始于1874年，当他看到庞加莱在1881年初发表的三篇关于自守函数(庞加莱称为富克斯函数)的短文时，他指出自己从1878年发表的五篇关于椭圆模函数理论的文章.从1881年6月到1882年9月，两人通了25封信，进行了友好的“竞争”，一直到1882年底克莱因病倒为止.

克莱因对于自守函数的贡献：

1.引进椭圆模函数的基本域的概念，这是椭圆函数周期四边形及二十面体群相应的圆弧三角形的自然推广.但是庞加莱考虑更一般的基本域，并独立于戴德金(1877)发现基本不变量j(t)，它取基本域内的每个值只有一次，从而所有椭圆模函数都可表为j(t)的有理函数.

2.进一步研究Γ的有限指标子群，即同余子群：Γ中满足a≡d≡+1，b≡c≡0(modm)条件的所有变换构成的子群Γ1，最小可能的m称为Γ1的级.同余子群与数论密切相关.

3.在庞加莱的暗示下，1882年克莱因“证明”了边界圆定理，他称之为基本定理：复数域不可约多项式f(w，z)=0可以由g1(t)=w，g2(t)=z来参数化，按照f(w，z)=0的黎曼面的亏格为0，1，和大于1，g1(t)，g2(t)分别可写成大的有理函数，椭圆函数和边界圆群的自守函数.实际上，这是着名的单值化定理，不过，克莱因的证明并不完全，庞加莱稍后也得出同样定理，也不完全.一直到25年后，P.克贝(Koebe)和庞加莱才独立地得出完整的证明.

克莱因关于这方面的研究总结在他同R.弗里克(Fricke)合作的两部书中：《椭圆模函数论讲义》(VorlesungenüberdieTheoriederelliptischenModulfunktionenⅠ1890，Ⅱ1892两卷)和《自守函数论讲义》(VorlesungenüberdieTheoriederautomorphenFunktionen，两卷，1897，1912).

克莱因用直觉的几何观点整理了黎曼曲面理论，在这个过程中他发展了一些拓扑的概念.他提出用p个柄的球面代替黎曼多叶曲面，他注意到曲面的可定向性及不可定向性，并证明射影平面的不可定向性.他明确概括前人的结果：两个可定向曲面同胚当且仅当亏格相等，他还指出在定向曲面有边界的情况下，还需边界曲线条数相等.他首次引进不可定向单侧闭曲面——克莱因瓶.这些工作在曲面拓扑学上有着历史意义.

除了数学的工作之外，克莱因的数学史至今仍是19世纪数学史上的重要的标准着作，作为当时的领袖数学家，他的许多观点至今仍然对数学家、数学史家有所启迪.他的《高观点看初等数学》(ElementarmathematikvomhherenStandpunkteausⅠ1908，Ⅱ，1909)反映了他对数学的许多观点，是一本译为多种文字的通俗读物，影响至今不衰.

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