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菲利克斯?克莱因，德国数学家，一生在数学多个领域有重要贡献，他的主要课题是非欧几何、群论和函数论。他的将各种几何用它们的基础变换群来分类的爱尔兰根纲领（1872年在埃尔朗根大学就职正教授的演讲）的发表影响深远：是当时数学内容的一个综合。著作有《高观点下的初等数学》。

1880年秋，他到莱比锡大学就任几何学教授.他给未来大学教师开了系统的几何学课程并把大学数学教学系统化，在1881年创办莱比锡大学第一个数学讨论班.在其上他报告了黎曼代数函数及其积分理论，用几何观点来整理黎曼的工作，开创了几何函数论的方向.同时指导他的学生W.迪克(Dyck)搜集制造数学模型.1881年夏天，他见到初露头角的法国数学家H.庞加莱(Poinearé)在《法国科学院院报》(ComptesRendus)上发表的三篇关于自守函数的论文，于是开始了他同庞加莱的通信，两人之间有一场竞赛.由于克莱因用脑过度，到1882年底身体完全垮了，断断续续休息了一年才恢复，这时已经不能干多少创造性的工作了.他开始整理过去的工作，做小的改进，写出专着《二十面体及五次方程解讲义》(VorlesungenüberdasIkosaederunddieAufl-sungderGleichungenvomfünftenGrade，1884).从此之后，他主要从事教学及组织工作，这使他在德国及国际上进一步产生巨大的影响.

1886年春，他就任格丁根大学教授，从此开始一个新时期.他的创造性研究的黄金时代已经过去，虽然其后他也发表五、六十篇论文，但大多数都是以前论文的继续和发展.他的兴趣越来越转向应用数学.他的活动更加趋向于教学工作、行政组织工作以及国际上的交流等方面.他的雄心是把格丁根建成世界上数学及物理学的中心.不过，在他刚到达时，这一切并不顺利，一直到1892年H.A.施瓦兹(Schwarz)离开格丁根后，特别是1895年初D.希尔伯特(Hilbert)的到来，格丁根逐步成为世界数学及物理学的中心，而这个中心的无冕之王就是克莱因.1892年在克莱因领导下，开始对格丁根大学教育制度及教学计划进行巨大的改革，在这个过程中大大加强了应用数学的份量，陆续设立了应用数学的教授、副教授席位.

1890年，在G.康托尔(Cantor)的倡议下，德国数学家联合会正式成立.克莱因作为创始者之一，积极参加其活动.他在1894年会上报告“黎曼及其对近代数学发展的意义”，并于1897，1904，1908三年任大会主席.

1893年为纪念C.哥伦布(Columbus)发现新大陆400周年，在美国芝加哥举行世界工业博览会，同时召开国际数学家大会.克莱因代表德政府参加这次会议，在大会上作“当前数学的状况”的报告.他还携带十几篇德国数学家的论文在大会上宣读.会后，他又专门为大会参加者作了12次当前数学状况的报告，对于美国数学家是个极大的促进.他先后还培养许多美国数学家，例如H.B.范因(Fine)就是他的博士生.1896年10月为纪念普林斯顿大学建校150周年纪念，他再次赴美，并作了他新研究的“陀螺理论”的报告.他在这个问题上，用自守函数简化了前人的证明，并给复数时间以新的解释.他和A.索末菲(Sommerfeld)合着的四卷《陀螺理论》(berdieTheoriedesKreisels，1897—1910)长期以来是这方面的标准著作.

1895年他积极参与德国《数学百科全书》(EnzyklopdiederMathematischenWissenschaften)的筹划工作，1899年起任力学部分的主编.1896年5月，克莱因被授予枢密顾问官职务.表明他在学术界的地位的提高.1897年6月，E.C.J.谢林(Sche-ring)去世，他于是创立了两个新的职位给O.R.M.布伦德尔(Brendel)和E.维谢尔(Wiechert)，布伦德尔是理论天文学教授，在克莱因指导下，负责编辑高斯的全集，这个工作原来是由谢林开始的，但未完成.正是由于克莱因发起编辑高斯的全集的工作，使得许多高斯生前没有发表的手稿得以重见天日，例如高斯关于椭圆函数和阿贝尔函数的工作的研究.不过原来克莱因还计划写一部全面的详尽的高斯的传记，但这个计划未能实现.克莱因同时在应用数学、物理学和工程方面做了大量的组织工作，1897年在C.林德(Linde)等人的帮助之下，建立起了一个机械实验室，而且建立一个教授席位，由R.莫利尔(Mollier)担任.1898年2月，克莱因创立了格丁根应用数学及物理学促进学会，他仿照美国人的先例，这个协会目的是在格丁根大学内部建立更多的应用数学的机构，由工业界和大学以及私人的赞助人进行财政上的资助，由此逐渐产生一系列的应用数学的分支，首先是画法几何学，其次是保险数学，而且还有自己单独的讲课教室.同年，克莱因发表了一篇文章，是关于建立一个单独的数学研究所的规划，第二年该研究所开始工作，以谢林为主任，由于数学系的扩张，使得数学系的职位增多.1900年着名的荷兰物理学家H.A.洛伦兹(Lorentz)被任命为技术物理学教授.1904年，克莱因又请来C.龙格(Runge)为应用数学教授.从此在格丁根形成一个纯粹数学、应用数学协调发展的黄金时代.

从1872年在埃朗根作就职演说时，克莱因就谈到数学教育，其后特别从19世纪末起，克莱因积极参与国际和国内数学教育的研究工作.

1910年春天，他的健康情况开始恶化，经常请假.1912年几乎全年没上班，于是1912年底他决定提前退休.退体之后，他开始讲授数学史以及相对论等课程，有时就在自己家里举行.1918年起，他开始编订自己的全集，写下了许多有历史意义的评注.三卷全集在1921年到1923年陆续出版.他的《19世纪数学史讲义》(VorlesungenüberdieEntwicklungderMathematikim19.Jahrhundert，Ⅰ，1926，Ⅱ，1927)在他去世后出版.

当时数学可以分为两大部分，纯粹数学以及包括力学、数学物理学、天文学、测地学在内的应用数学.而纯粹数学则可一分为二：分析学及几何学.分析学包括数论、代数、微积分及函数论.当时的代数主要问题仍然是方程论，群论并没有形成一门学科，甚至抽象群的定义也没有严格地给出.伽罗瓦理论刚刚为大家知道，数学家所知道的群仅仅是代换群或置换群.另外一个热门是不变式论，它研究齐次多项式(型或形式)在线性变换之下的不变式.一般的函数论刚刚处于萌芽状态，函数论主要的题目是椭圆函数、超椭圆函数、阿贝尔函数、黎曼、魏尔斯特拉斯及克莱布什都是因为他们在这些方面的工作而在当时获得极大声誉，这些具体问题已成为数学家才能的试金石.

纯粹数学的另一半是几何学，从1795年到1872年，几何学经历了它的黄金时代.在这期间，古典的欧几里得几何学不再是几何学的唯一对象，射影几何学正式成为一门新学科.接着是综合方法与解析方法的对立，出现了综合几何学、解析几何学及无穷小几何学(即微分几何学)三大分支.几何学也从“现实的”三维欧几里得空间及其中的点、线、面作了三方面的扩张：一是非欧几何的创立，从而结束了欧几里得几何唯我独尊一统天下的地位.二是高维几何学的出现，开始研究四维及四维以上的空间及流形，这时代数及解析方法更显示其优越性.三是空间元素不再局限为点，而可以是线、圆、球等，形成线几何学、球几何学等等新学科，其中有些还在力学、光学等方面有着重要应用.

面对着这种复杂多样的数学学科，克莱因的突出贡献就是用群的观点来统一整个数学，具体来说就是：

1.提出埃朗根纲领，用变换群的观点统一几何学；

2.用几何学及群的观点来研究五次及五次以上代数方程及线性常微分方程；

3.用群与几何学的观点来研究函数论，发现自守函数，它是椭圆函数等的重大推广.这样通过群把几何学、代数学、分析学连接成一个统一的数学整体，通过他和别人的工作，直接或间接联系上代数数论、不变式论、数学物理等等学科.

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