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多项式是一类最常见、最简单的函数，它的应用非常广泛。多项式理论是以代数方程的根的计算和分布作为中心的，所以也叫做方程式论。关于多项式的一些重要定理和方法，不仅在解决实际问题的时候常常会用到，而且在进一步学习代数以及其他学科的时候，也经常会碰到。

（一）何谓多项式？

关于多项式的基本概念，可以这样叙述：设x是一个变量，n是一个非负整数。象下面这样的表示式：

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叫做x的一个多项式。式子中的a_n 、a_(n-1) 、…、a_1 、a_0都是常数，叫做多项式（1）的系数；a_n x^n叫做多项式（1）的n次项；a_n叫做n次项的系数。因为象（1）式这样的多项式只包含一个变量，所以叫做一元多项式。如果（1）式中的系数都是整数或者有理数，那么，（1）式就叫做整系数或者有理系数多项式。

多项式常用f（x）、g（x）、F（x）、...等来表示，如：

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有时候甚至简单地用f、g、E、……等来表示。并且用f（a）、f（b）表示多项式f（x）当x=a、x=b时候的值。如果f（c）=0，就把c叫做多项式f（x）的一个根或者零点。

如果两个多项式f（x）和g（x）的同次项的系数全相等，就说f（x）和9（x）相等，记作f（x）=g（x）。

（二）快记代数方程的性质

研究多项式理论，主要在于探讨代数方程的性质，从而寻求简易的解代数方程的方法。两个多项式相除的结果不一定是多项式，这点说明多项式的除法显得特别重要。比如有两个多项式f（x）和g（x），如果有另外一个多项式q（x），使得f（x）=q（x）g（x），就说f（x）能被g（x）整除（或者除尽）。这种情况下，通常把f（x）叫做g（x）的一个倍式；把g（x）叫做f（x）的一个因式。

多项式的整除性质对于解代数方程是很有用处的。解代数方程，无非是求対立的多项式的零点，零点不存在的吋候，対立的代数方程就没有解。

（三）最大公因式与因式弄不懂？

多项式代数所研究的内容，包括整除性理论、最大公因式、因式分解定理、重因式等等。这些内容大体上和中学代数里的内容相同，下面简单介绍关于最大公因式和重因式这两个概念。

我们已经知道如果多项式q（x）既是f（x）的因式，又是h（x）的因式，那么q（x）就叫做f（x）和h（x）的一个公因式。

假没F（x）和q（x）是两个多项式，如果有一个多项式d（x）满足下面两个条件：

第一、d（x）是F（x）和q（x）的公因式；

第二、p（x）和q（x）的任何公因式都是d（x）的因式。这样就把d（x）叫做F（x）和q（x）的一个最大公因式。

最大公因式有一个很重要的性质，也是多项式的定理之一：假设d（x）是多项式F（x）和q（x）的一个最大公因式，那那么，d（x）一定可以表示成F（x）和q（x）的组合，也就是说可以找到多项式u（x）和v（x），使得

d（x）=u（x）F（x）+v（x）q（x）。

任意一个多项式f（x）总有以下两类明显的因式：非零常数c以及f（x）的非零常数倍cf（x）。如果除此以外不再有其他因式，那么，这样的多项式就叫做不可约的；不然的话，就叫做是可约的。

现在，我们假设多项式p（x）是不可约的，

p^k (x)|f(x)，而p^k (x)∤f(x)

如果k=0，那么p(x)根本不是f(x)的因式；如果k=1，那么p(x)叫做f(x)的单因式；如果k>1，那么p(x)叫做f(x)的重因式。

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[责编：大鱼]

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