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揭开代数的神秘面纱(二)

作者:数学经纬网发布日期:2019-10-04 23:38浏览次数: 来源:原创

代数学的发展历史告诉我们,在研究高次方程的求解问题上。许多数学家走过了一段颇不平坦的路途,付出了艰辛的劳动为代数学的发展作出了贡献。

(一)漫漫求解路

我们都知道,如果方程是一次的,它的形式是ax+b=0,(a≠0)那么,它的解就是x=-b/a。

对于任意系数的一元二次方程:ax^2+bx+c=0(a≠0)的解的公式是

x=(-b±√(b^2-4ac))/2a

关于三次方程,我国在七世纪,得到了一般的近似解法,这点在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》中就有叙述。到了十三世纪,宋代数学家秦九韶(1202-1261)在他所着的《数书九章》这部书的“正负开方术”里,充分研究了数字高次方程的求正根法,也就是说,秦九韶那时候巳得到了高次方程的一般解法。但是,在西方,直到十六世纪初文艺复兴时代,意大利的数学家才发现了三次方程:

x^2+px+q=0的解的公式,这个公式通常叫做卡当公式,就是:

x=?(-q/2+√(q^2/4+p^3/27)) +?(-q/2-√(q^2/4+p^3/27))

在数学史上,据传这个公式是意大利数学家塔他里亚(1500-1557)首先得到的。塔他里亚是一个自学成材的数学家、工程师、会计师。他写过不少关于数学、筑城术、火药制法、商业算术等着作。塔他里亚原名是冯塔那,他幼年时代正碰上意、法两国发生战争,他的家乡被法军占领,他的脸部被法军用军刀砍伤,伤愈后,语言失灵,说起话来有些口吃,别人就给他起了一个绰号叫做“塔他里亚”,意大利语的意思是“口吃者”。

揭开代数的神秘面纱(二)

图片1 塔他里亚

1535年2月22日,他在米兰和别人竞赛解三次方程的题目,竞赛双方各出30道题目给对方做,谁解得最多最快,谁就获胜。竞赛开始后,两小时之内,塔他里亚解完了所有30道题,对方却一道也没有解出来。获胜后,塔他里亚经过进一步探索,终于找到了三次方程的一般解法。他的解法一直保密不肯公布出来。后来,意大利米兰地区的数学家卡当(1501-1578)得知塔他里亚研究并得到了这个三次方程的解的公式,就写信给塔他里亚,央求把这个公式告诉他。塔他里亚在卡当的再三央求下,提出要卡当绝对保守秘密,卡当答应了这个条件,塔他里亚把公式告诉了卡当。但是,后来卡当违背了自己的诺言,把这个公式发表在他自已的着作里。所以直到现在,人们还是把这个公式叫傲卡当公式,其实,它应该叫做塔他里亚公式。

揭开代数的神秘面纱(二)

图片2 卡当

三次方程被解出后,一般的四次方程很快就被意大利的弗拉利(1522-1560)解出。这就很自然地促使数学家们继续努力寻求五次以及五次以上的高次方程的解的公式。遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力,一直持续了长达三个世纪,都没有得到解决。

揭开代数的神秘面纱(二)

图片3 阿贝尔

到了十九世纪初,挪威的一位青年数学家阿贝尔(1802-1829)证明了五次或五次以上的方程不可能有代数解。阿贝尔的这个断言并不是说这样的方程没有解,而是说五次或五次以上的方程的解,不可能像一次、二次、三次方程的解那样,用方程的系数通过加、乘、除、乘方、开方这些代数运算表示出来。稍为具体的说法是,如果一个方程的次数n≥5的时候,那么,由这个方程各项的系数a1,a2,a3,…,an组成的根式不可能是这个方程的根。

阿贝尔的这个证明不但比较难,而且也还没有回答每一个具体的方程是否可以用代数方法求解的问题。

揭开代数的神秘面纱(二)

图片4 伽罗华

后来,五次或五次以上的方程不可能有代数解的问题,由法国的一位青年教学家伽罗华(1811-1882)彻底地解决了。伽罗华20岁的时候,因为积极参加法国资产阶级革命活动,曾两次被捕入狱,1832年4月,他出狱不久,便在一次私人决斗中死去,死的时候才2I岁。临死前他预料自已难以摆脱死亡的命运,所以曾连夜给朋友写信,仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出,并附以论文的手稿。他在给他的朋友舍瓦利叶的信中说道;“我在分析方面作出一些新发现。有些是关于方程论的。有些是整函数的。……公开请求雅可比(1804-1851)或高斯,不是对于这些定理的正确性而是对于它的重要性发表意见。其次,我希望将来有人发现消除所有这些混乱对他们是有益的。”伽罗华死后,按照他的遗愿,舍瓦利叶把他的信发表在《百科评论》中。他的论文手稿过了14年,才由刘维尔(1809-1882)主办的刊物《纯粹与应用数学杂志》给予发表,题目是《关于方程用根号解的条件的记录》(也有的书译作“论方程的根式可解性条件”),刘维尔并作序向数学界推荐。

伽罗华虽然十分年轻,但是他在数学史上作出的贡献,不仅解决了几个世纪以来一直没有解决的高次方程的代数解的问题,更重要的是他在解决这个问题的过程中引入了一个“群”的概念,开辟了代数学的一个崭新的领城,直接影响着代数学研究方法的变革。从此,代数学不再以方程理论为中心内容,转向代数结构的性质的研究,促进了代数学进一步的新发展。

(二)向现实逼近——近似解

五次或者五次以上的高次方程不能用代数解,但是在力学、物理学和科学技术部门]中的许多问题却常常要求出高次方程的解。而且从实用上来看,即使像三次方程有解的公式,由于形式繁杂,实用价值也不大。于是数学家转而考虑高次代数方程的近似解。在这方面得到了许多高次方程的数值解法,现在是属于计算数学这一分支的。常用的有瑞土数学家斯图姆(1803-1885)提出的斯图姆方法,我国数学家秦九韶提出的秦九韶方法,俄国数学家罗巴切夫斯基(1793-1856)提出的罗巴切夫斯基方法

斯图姆方法可以确定高次方程的解的个数,还可以确定每个解所在的区间,从而可以计算出所有的解。

秦九韶方法在国外叫做霍纳(1786--1831)方法,或者叫做霍纳-鲁非尼(1765-1822)方法。霍纳是英国人,1819年,他在英国皇家学会宣读了他的论文《用连续逼近法解所有阶的数字方程的新方法》,他的这个方法,鲁非尼早在1804年就得到了,但是没有公开发表,所以后来有人只把它叫做霍纳方法。其实,霍纳方法和我国的秦九韶方法完全一样,秦九韶在1247年他所着的《数书九章》中,已经发表了这个算法,比霍纳要早五百多年。

罗巴切夫斯基方法可以直接求出所有解的近似值,包括复数解,而且不需要事先把解区分出来,但是需要进行很复杂的计算。

关于上述几种方法,有兴趣的读者可参阅有关书籍,这里就不具体介绍了。


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[责编:雨滴]

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