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厉害了,17世纪的学霸们!(下)

作者:超级数学建模发布日期:2020-01-07 09:09浏览次数: 来源:微信公众号

今天我们一起来观赏一下数学美。

这事儿和17世纪的一道谜题有关,直到后来微积分被建立起来以后才得正解。虽然问题不难,但结果惊艳。

五、能看到这里的都是好同学

这事儿还能更带劲。

在均一力场的框架下,「最速曲线(Brachistochrone Curve)」有时候也被称之为「等时曲线(tautochrone)」(依旧感谢希腊人,taut的意思是「相等」)。

你可以把物体放在「等时曲线」的任何位置上,它们都将以 相同的时间 滑落到同一个位置。

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位置越高的物体,将以更快的速度,和位置较低的物体一起通过最低点。(具体时长是π乘以圆弧的半径除以g的平方根)。

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你可以在威武的Wolfram 上玩到更精彩的例子

我们回忆一下高中的物理知识,老师讲过钟摆的运动周期取决于摆臂的长度,但这个说法只是理想状态下的近似结果。当钟摆真甩起来的时候,其实摆臂的长度是有细微微的变化的:

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当摆臂很长,而摆幅很小的时候,这个误差也很小,但这个误差是躲不掉的。最早发现这个问题的是数学家惠更斯,他用一个叫做「翻转摆线的渐开线( involute of an inverted cycloid)」的特别方法纠正了这个误差(后面讲到),制造出了完美的钟摆(惠更斯钟摆),他是历史上第一个研究钟摆在摆线顶端出现误差的人。

如果摆臂的长度是摆线周长的一半,那么钟锤运行的轨迹是沿着一条摆线以固定的时长运动,且时长与摆动的高点位置无关。渐开线指的是一条描述摆臂上一动点沿着曲线运动,与所选切线上的交点的轨迹。(如果每个字都认识,这真不是我的错……,下图蓝色那段就是所谓「渐开线」)。

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下图就是惠更斯设计的钟摆,钟摆顶部有两片金属簧片,现在被称之为 Huygen's Chops。

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当钟摆摆动时,吊绳就贴上了簧片,簧片的形状就是摆线的渐开线,钟摆因此就沿着完美的摆线运行了。

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六、摆线,最速曲线和等时曲线

摆线的特性在名着《白鲸记》中也有描述:

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「炼鲸油锅」也包含着数学的光辉。Pequod号捕鲸船的左舷的锅子里,当我用滑石打磨锅壁的时候,注意到了这个神奇的现象,所有的东西都按照摆线的规则,无论从哪儿开始,都以同样的时间滑落到锅底。

如果你还在玩四驱模型车,那么你可以告诉孩子们,如果是在一个最速曲线形状的滑道上比赛,无论赛车从哪儿起跑,比赛都是公平的。

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(当然机灵的小家伙们会告诉你,红色的车子会跑的最快)。

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一个符合数学要求的滑板熘碗赛场,应该两边是符合「等时曲线」的形状。如果你在这种赛场和人较劲,那么你可以放心,无论他们踩着什么器材,大家在坡底的耗时都是一样的。如果形状不如意,那么你最好别沿着坡度直接下去,最好滑出一道最速曲线的轨迹来。

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七、再说一次渐开线

我觉得最后值得说一说渐开线,它和摆线一样有趣,而且在工作中更能发挥实际作用。比如齿轮。早期的齿轮都是按照摆线的轮廓制作的。

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这种齿轮一般具有更宽的齿牙截面,因此也更强更有力,但在现代工业制造中已经很少见了。如上图所示,摆线齿轮是由两条摆线为轮廓构成的,这个样子的齿轮现在在自行车上比较常见。在动画最后,你会看到齿牙根部又被切掉了一块,这是在钟表齿轮上常见的做法(为了减少重量,更重要的是减少碰撞和摩擦。)

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而如今,更常见的齿轮是以渐开线为轮廓的(想象成好多Huygen's Chops组成的齿轮就是了)。

当这种齿轮咬合的时候,两齿之间的接触点稳定,摩擦更少,运转更平稳。没有其他形状的齿轮会发生的抖动和噪音。而且这种齿轮还有一个优点就是两个齿轮之间的圆心距离可以随意改变,而不需要改变轮子的传动比(而摆线齿轮必须固定两个齿轮之间的圆心距离)。

最后,渐开线齿轮顶部和底部是平的,只有弧度的两侧,所以比较易于加工。

摆线齿轮现常见于自行车、手表、钟表上,除此以外,基本上都是渐开线齿轮的天下了。

八、滚石

下次,如果你再看到山坡上寂寞翻滚的大石,请记起17世纪的那些大学霸们!

(完)


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[责编:雨滴]

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