关注数学发展弘扬科学精神

关注数学发展,弘扬科学精神,专注数学科普

您的位置:主页 > 数学科普 > 三次数学危机

三次数学危机

作者:未知发布日期:2019-12-20 21:17浏览次数: 来源:文章整理

实际上,这三次数学危机对东方(主要指中国和印度)无甚影响,因此,三次数学危机只能算三次西方数学危机。三次数学危机对数学及其哲学都造成了巨大的影响,三次危机虽然给当时某个时期造成了某种困境,然而一直未妨碍数学的发展与应用。倒是在困境过去后,给数学带来了新的生机。

从历史阶段上看,数学的三次危机分别发生在公元前5世纪、17世纪和19世纪末,都是发生在西方文化大发展的时期,因此,数学危机的产生,都有其一定的文化背景。第一次危机是古希腊时代,由于不可公度的线段——无理数的发现与一些直觉的经验相抵触而引发的;第二次危机是在牛顿和莱布尼茨建立了微积分理论后,由于对无穷小量的理解未及深透而引发的;第三次危机是当罗素发现了集合论中的悖论,危及整个数学的基础而引起的。

一、第一次数学危机

公元前5世纪古希腊的数学非常发达,而尤以毕达哥拉斯创立的学派最为有名。毕达哥拉斯曾游历埃及、波斯学习几何、语言和宗教知识,学识渊博,后在意大利一个名叫克罗顿的沿海城市定居,招收了300门徒,称为毕达哥拉斯学派。

毕达哥拉斯学派对几何学贡献很大,最着名的是所谓毕达哥拉斯定理(中国称勾股定理)的发现:即任何直角三角形的两直角边a、b和斜边c,都有 的关系式。据说当时曾屠牛百头欢宴庆贺。

华达哥拉斯学派研究数学,还很重视音乐,倡导一种“惟数论”的哲学观,“数”与“和谐”是他们的主要的哲学思想。他们认为,宇的宙的本质是数的和谐。一切事物都必须而且只能通过数学得到解释。他们坚持的信条是:“宇宙间的一切现象都可归结为整数或整数与整数的比。”也就是一切现象都可以用有理数来描述。例如,他们认为“任何两条不等的线段,总有一个最大公度线段。”其求法如下(如图 32-1):

1.png

设两条线段AB>CD,在AB上用圆规从一端A起,连续截取长度为CD的线段,使截取的次数尽可能地多。若没有剩余,则CD就是最大公度线段。若有剩余,则设剩余线段为EB (EB<CD),再在CD上截取次数尽可能多的EB线段,若没有剩余,则EB就是最大公度线段,若有剩余,则设为FD (FD<EB),再在EB上连续尽可能多地截取线段长度等于FD的线段,如此反复下去。由于作图工具的限制(仅用圆规)总会出现没有剩余的现象。也即最大公度线段总是可以求得的。例如在图32-1中,最后有FD=2GB,所以CB就是AB和CD的最大公度线段,故而有 即为两个整数的比。

然而,毕达哥拉斯学派的一个成员希伯索斯通过逻辑推理而不是用圆规去实测,他发现:等腰直角三角形的直角边与其斜边是不存在最大公度线段的。亦即在等腰直角三角形中直角边与其斜边的长的比值不能表示为两个整数的比。

2.png

如图32-2,在等腰直角三角形△ABC中,按上述方法求AC与AB的最大公度线段。取AD=AC,过D作DEL垂直于AB交BC于E,因为∠DCE=∠CDE=22.5°,所以CE=DE=DB。则问题转化为求DB与BE的最大公度线段, 但△BDE又重新构成一个等腰直角三角形,往下, 就只能重复以上的作法。如此,继续下去,始终求不出AC与AB的最大公度线段。这就是说,希伯索斯从几何上发现了无理数的存在。本来希伯索斯对数学的发展作出了很大的贡献,理应得到赞赏,谁知反而因此丧失了生命。相传当时他正和毕氏门徒在一条游艇上游玩,当希伯索斯向大家讲述他的重大发现后,信徒们不仅不对学派的错误信条作出新的评价和改造,反而认为他的言论是违反至高无上的信条,并把他抛人海里,处以“淹死”的惩罚,希伯索斯为发现真理而献出了自己的生命。

事实上,直角边长为1的等腰直角三角形,其斜边为2,而2是一个无理数(可用反证法证明)。因而直角边与斜边的比,不可能是两个整数的比。

由于无理数的发现,打破了毕达哥拉斯的“信条”,引起了数学界思想的混乱,出现了所谓的第一次数学危机。但数学并非在危机前停滞不前,反而在克服危机的过程中产生了欧儿里得几何和非欧几何。希伯索斯是一个以身殉道的伟大的追求真理的先驱。

二、第二次数学危机

17世纪由牛顿和莱布尼茨建立起来的微积分学由于在自然科学中的广泛应用,揭示了许多自然现象,而被高度重视。但在持续的一百年内,这门科学却缺乏令人信服的严格的理论基础,存在着明显的逻辑矛盾。例如:对于 而言,根据牛顿的流数计算法,有

3.PNG

在上面的推导过程中,从(32.3) 到(32.4),要求△x不等于零,而从(32.4)到(32.5),又要求△x等于零。

正因为在无穷小量中存在着这类矛盾,才引起当时颇具影响的红衣大主教贝克莱对无穷小量的抨击。1734 年贝克莱在其所着的一本书名为《分析学家》的小册子里,说△x为“ 逝去量的鬼魂”。意思是说,在微积分中有时把△x作为零,有时又不为零,自相矛盾。贝克菜的指责,在当时的数学界中引起混乱,这就是第二次数学危机的爆发。

在无穷小量的危机中,无穷小量顶住了各种形式的责难,以自己不可取代的应用优势发挥着巨大的作用。经过了一个多世纪之后最终在以零为极限的序列中找到了位置。从19世纪下半叶开始,极限理论逐渐取代了无穷小量的方法,并且在分析基础理论中具有统治地位,这样自然而然地解决了第二次危机。

三、第三次数学危机

在19世纪下半叶,由于严格的实数理论和极限理论的建立使得法国大数学家庞加菜在1900年巴黎召开的国际数学家大会宣称:“数学的严格性看来直到今天才可以说是严格实现了。”因而对实数理论和极限理论的基础集合论给以很高的评价,但事隔两年,即在1902年突然传出了一个惊人的消息:着名的哲学家和数学家罗素发现了集合论的概念本身出现了矛盾。这就是罗素提出的着名悖论(什么是悖论,可参阅本书11.悖论的魅力):“宇宙是不存在的。”

这个悖论通俗地说,即宇宙是由一切事物组成的集合,而宇宙本身也是一个事物,所以宇宙也应属于这个集合,而这是不可理解的。因为一个集合与组成这个集合的元素是有着本质区别的。也就是说,这个包罗万象的宇宙是不能存在的。因为,若宇宙存在,就会引出矛盾。

这样,罗素的悖论涉及集合论中一个最基本的概念“集合”。罗素悖论使得“任何确定的条件的对象都可决定一个集合”这一条原则导致了矛盾。

这就大大动摇了集合论的基础,同时,也动摆了整个数学的基础。所以,一般人称此为第三次数学危机,为了消除以上的矛盾,数学家提出了各种不同的解决方案。如罗素本人就主张把数学还原为逻辑,而希尔伯特提出形式化的方案。但数学界至今还未提出一个完善的解决方案。即使是逻辑学家、语言学家、哲学家等都在不同层次地委人到集合论的解释行列中来,但是,最终人们还得在承认数学自身也存在矛盾的前提下,对集合论的思想和方法进行广泛的应用。

应该指出的是数学史上的三次危机对中国几乎无甚影响。在中国古代数学中无理数的产生极为自然,由开方产生的无理数,其操作运算就是它的自然解释;而极限的思想方法在中国数学中只是作为一种数学处理方法而已,丝毫没有什么危机。因为在没有数学逻辑思想指导和宗教压力下的中国数学文化,使得中国古代的数学家和哲学家具有一种恬淡、潇洒的性格。

西方所谓的数学危机,本质上不是自身操作系统出现了危机,而是文化传统对数学操作系统的解释发生了危机。从数学危机的结果上分析,西方数学的危机并不是自身形式的改变,而是人们对数学认识的改变;是人们对数学的理解发生了改变。


(声明:本文仅代表作者观点,不代表本站观点,仅做陈列之用)

[责编:大鱼]

郑重声明:本文版权归原作者所有,转载文章仅为传播更多信息之目的,如作者信息标记有误,请第一时间联系我们修改或删除,多谢。

欢迎扫描关注我们的微信公众平台!

欢迎扫描关注我们的微信公众平台!