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数学中的黄金分割美

作者:《数学美拾趣》发布日期:2019-12-13 23:27浏览次数: 来源:文章整理

黄金分割我们都有所耳闻,它是数学与艺术的结合,为我们展现精确的美。那么,黄金分割在生活中有哪些应用呢?

一、五角星图形

我国的国旗、国微、军旗、军徽都采用了五角星图案(一些其他国家也是如此)。而发现黄金矩形的毕达哥拉斯学派的会徽也是一个五角形,每个会员都佩带一个五角星标记的微章。为什么五角星会成为众多民族喜爱的图形?正五角星图形到底具有哪些美感呢?

五角星的形成来自于大自然(如五角星形花瓣),它也和大自然一样,既有美妙的对称也有扣人心弦的变化。

数学中的黄金分割美

将圆周分成五等分,依次隔一个分点相连,则可一笔画成一个图形,即成一个正五角星形。首先,在连接的过程中就让人惊异于形成图形的奇妙(奇异的美);而连成的图形又具有如此明显的对称性(对称的美)!五角星美的核心是五条边相互分割成黄金比(如图中F、G是AC的黄金分割点)这是种最匀称的比,能给人产生美的原动力。因此,五角星形具有如此巨大的魅力,成为世人所喜爱的图形。

二、黄金图形

请看下面的几种黄金图形。

黄金矩形:宽与长之比为黄金数的矩形。对黄金矩形依次舍去所作的正方形,可得到不断缩小的黄金矩形序列。

黄金三角形:分两类,第一类是底与腰之比为黄金数的三角形,如图二的△ABC,△BCD,△DEC,……组成不断缩小的三角形序列;第二类是腰与底之比是黄金数的三角形,如图三中的△ABC,△DAB,△EBD,……也组成不断缩小的黄金生角形序列,前述的埃及胡夫金字塔,其正投影即为此类黄金三角形。

数学中的黄金分割美

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黄金椭圆:短轴与长轴之比为黄金数的椭圆(如图四)。它的面积与以它的焦距为直径的圆的面积相等:它的离心率的平方也是黄金数。

数学中的黄金分割美

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黄金双曲线:实半轴与半焦距之比为黄金数的双曲线(如图五)。它的离心率的倒数也是黄金数。

这些黄金图形使人看起来赏心悦目,是同类图形中最和谐、优美的图形。

三、将黄金数表示为连分数

数学中的黄金分割美

由线段的黄金比1/x=x/(1-x),有x^2=1-x,x(x+x)=1,得x=1/(1+x)。对等式右边分母中的x又以1/(1+x)代替,可得x=1/(1+1/(1+x));依次类推,可得连分数:x=1/(1+1/(1+1/(1+……)))。

这样个简洁的连分数给人以有序而无穷的印象,使人具有不言而喻的美感,黄金数与连分数之间竟有如此迷人的联系,怎不让人惊叹!

四、菲波那契数列

13世纪意人利数学家菲波那契在他的《算盘经》的修订版中增加了一道着名的免子繁殖问题,为黄金分割大放异彩。

问题是一对免子每一个月可以生一对小兔, 那么,从刚出生的对小免算起,满一年可以繁殖多少对兔子?

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则由第一个月到第十二个月兔子的对数分别是: 1, 1,2, 3,5,8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,这个数列称为菲波那契数列。这个数列的一个特点是从第3项起,每项等于它的前两项之和。

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奇妙的是公式中含有无理数/5,而n用正整数代人时,所得的结果却都是正整数:另一出人意料的是,相邻两项的比。当n趋于无穷大时,它的极限恰好是(√5-1)/2≈0.618。

菲波那契数列具有特殊、神秘的魅力。难怪近年国外出版了一种《菲波那契数列》杂志,专门发表有关这个数列的新发现和新用途的文章,使得菲波那契数列的研究长盛不衰,生生不息。


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[责编:大鱼]

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