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自行车中的趣味数学

作者:好玩的数学发布日期:2019-12-09 22:42浏览次数: 来源:微信公众号

本文内容由好玩的数学节选自《迷人的逻辑题》,[英] Alex Bells 着,胡小锐译,中信出版社2018年10月出版,有删改,转载请注明出处。

在一个早期的福尔摩斯系列故事《修道院公学》(The Adventure of the Priory School)中,福尔摩斯仅凭借自行车留下的两列车轮印,就推断出那辆自行车的前进方向。他向华生解释了他的推理过程:“自行车的重量都落在后轮上,所以后轮留下的车轮印当然会更深。你看,有几个地方,深的车轮印从浅的上面碾过,完全盖过了浅的车轮印。毫无疑问,这辆自行车正在离开修道院。”

我不是很明白他的推理。但是,不管骑自行车的人往哪个方向走,后轮都会盖过前轮留下的印痕,不是吗?

其实,利用车轮印痕的确有可能推断出自行车的前进方向,但福尔摩斯的作者阿瑟?柯楠?道尔爵士(Sir Arthur Conan Doyle)错过了一个自我表现的机会。

自行车的智力趣题

01

下图是骑车人留下的车轮印,请问他的行进方向是从左向右还是从右向左

自行车中的趣味数学

图一

福尔摩斯说的没错,你先要先分出哪条车轮印是前轮留下来的,哪条是后轮留下来的。但是,你无须知道车轮印的深浅,就可以完成这项工作。

要推断出自行车的行进方向,我们先要确定哪条车轮印是前轮留下来的,哪条是后轮留下来的。

如果车轮印是直的,车轮的行进方向就与车轮印的方向一致。然而,如果车轮印是弯曲的,车轮的行进方向就会与车轮印上各个点的切线方向保持一致。(切线是指与某条曲线只有一个接触点的直线)。为便于理解,请仔细观察下图2中独轮车留下的车轮印。车轮在点A、点B和点C时的朝向分别与我标出的各条切线方向一致。

自行车中的趣味数学

图二

自行车有两个车轮,前轮可以指向任意方向,而后轮在行进方向上没有自由——它必须始终指向前轮的行进方向。

所以,无论后轮在哪个位置,前轮都在后轮印的切线方向上,且与后轮之间的距离一定等于自行车的车身长度。换句话说,后轮印的所有切线一定都会与前轮印相交,且切点与交点间的距离一定等于车身长度。

现在,请大家查看下图(图3)中粗线上的点D。该点的切线与两条车轮印都不相交。因此,我们可以断定点D所在的那条曲线不是后轮印,而是前轮印。

自行车中的趣味数学

图三

现在,我们可以确定自行车的行进方向了。我们知道哪条车轮印是后轮留下的,上面的讨论还告诉我们,沿后轮印上的任意一条切线,朝着自行车的行进方向前进一辆自行车的车身长度,就会与前轮印

相交于某一点。因此,我们在后轮印上任取两点E、F,分别画出后轮印的切线,观察这两条切线与前轮印相交的情况。从图4可以看出点E和F左侧的两条线段长度相等,而右侧的两条线段长度不相等。车轮之间的距离在行进过程中是不会改变的,由此可见,自行车的行进方向是由右向左,太简单了!

自行车中的趣味数学

图四

自行车的智力趣题

02

一位摄影师正在拍摄运动中的自行车。自行车沿着水平道路行驶,但我们不知道它的方向是从左向右,还是从右向左。不过方向并不重要。自行车的轮呈圆盘状,上面有两个五边形标志。请问下面两个图形中,哪一个是摄影师拍摄的照片?

自行车中的趣味数学

图五

我特别喜欢这个问题,因为它反映了一个奇怪的现象:车轮的顶部总是跑得比底部快。

车轮沿着水平面滚动时,车轮上的点需要完成两个不同方向上的运动。它们需要沿着车轮前进方向水平运动;此外,它们还需要绕着车轮中心旋转。这两个方向上的运动有时相互补充,有时又会相互抵消。我们在车轮上任取一个点。如下图(图6)所示,当该点位于车轮顶部(点A处)时,该点的水平运动和旋转运动就会相互补充。但是,当这个点在车轮底部(点B处)时,水平运动和旋转运动的方向正好相反,就会相互抵消。从观察者的角度看,车轮滚动时,顶部的速度一直是车轮水平速度的两倍,而车轮底部一直是静止的。由此可见,轮子下半部分各点的运动速度比上半部分各点要慢。

自行车中的趣味数学

图六

因此,正确答案是第二幅图。因为在这幅图中,上面的五边形模煳,而下面的五边形非常清晰。如果摄影师将相机的曝光时间设置得足够短,速度慢的那个五边形就会留下清晰的图像,但速度快的那个五边形肯定比较模煳。如果你喜欢画画,可能马上就会明白其中的道理。在画运动的自行车车轮时,顶部经常会做模煳处理。


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[责编:雨滴]

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