关于微积分的基本概念——微分(牛顿的和莱布尼茨的)——的本质,长时间处于争论中。
牛顿认为,弧、弦和切线任何两个互相的最终比都是等量的比,导数(或者流数)表示变化率,积分(或流量)是导数的逆运算;莱布尼茨认为,微分就是无穷小的差数,是定性的0,微商是微分之比,而积分(面积)是微分的和;欧拉(L.Euler,1707-1783)认为,微分是不同阶的0;泊松(S.Poisson,1781-1840)认为无穷小是“小于任何同类性质的给定量”,这些量是真实存在的,而不仅仅是“几何学家想象得一种研究方法”,微分学的目标就是求无穷小之比。
柯西继承了牛顿的比的极限说法:当属于一个变量的相继的值无限地趋近某个固定值时,如果最终同固定值之差可以随意地小,那么这个固定值就称为所有这些值的极限。
柯西基于“接近”的思想避免了一些早期尝试中的缺陷。特别是,他既没有对达到这个极限说什么,也没有对超过这个极限说什么。柯西的所谓“回避极限”的定义不提及无论怎样达到极限,仅仅是接近并保持接近它。对他来说,这里没有消逝的量,于是贝克莱主教所谓消逝的量的鬼魂也就不复存在了。
图一 柯西
法国数学家庞加莱(Poincare,1854-1912)说:“我个人,而且还不只我一人,认为重要之点在于,切勿引进一些不能用有限个文字去完全定义好的东西”。他把集合论当作一个有趣的“病理学的情形”来谈,并且预测说:“后一代将把(Cantor)集合论当作一种疾病,而人们已经从中恢复过来了”。
数理逻辑学家阿伯拉罕?罗宾逊(Abraham Robinson,1918~1974),1962年去美国在普林斯顿大学的一次报告中指出:现代数理逻辑的概念和方法能为“无穷小”和“无穷大”作为“数”进入微积分提供合适的框架,罗宾逊写了《非标准分析》一书,Robinson的非标准分析,本书证明了莱布尼茨的思想能够全面维护。
哥德尔:“我们有理由相信,不论从哪方面看,非标准分析将会成为未来的数学分析。……在未来世纪中,将要思量数学史中的一件大事,就是为什么在发明微积分学后300年,第一个严格的无限小理论才发展起来。”
图二 哥德尔
一种方法,它能够放之四海皆准,绝不会是无缘无故的。以Newton和Leibniz思想为内容而以Leibniz表达方式为形式的微积分能够放之四海皆准,这背后一定隐藏着规律。揭示隐藏在事物背后的规律,才能建立科学的微积分原理。科学实践证明, 以“直”代“曲”的推演和计算是精确的(而非近似的);积分是微分的直接累加(根本不须再求极限)。在Cauchy看来,Leibniz的“定性的0”的思想,Euler的“不同阶0”的思想,以及Poisson的“小于任何同类性质的给定量”的思想,都不是离成功只差半步的光芒四射的思想,而是他另起炉灶的依据。Newton说:“严格地说,消失量的最终比不是最终量之比,而是这些无限减少的量的比的极限。”这样的话被Cauchy继承,而Newton光辉夺目的非自遣论断:“弧、弦和切线任何两个互相的最终比都是等量的比。” 这样的充满真知灼见的思想却被抛到九霄云外。从而微积分的演化历史进入了近两百年的历史大迂回时期。
人类对微积分的要求不应满足并停留于历史的大迂回之中。
(声明:本文仅代表作者观点,不代表本站观点,仅做陈列之用)
[责编:大鱼]
郑重声明:本文版权归原作者所有,转载文章仅为传播更多信息之目的,如作者信息标记有误,请第一时间联系我们修改或删除,多谢。