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孙子曰：“今以君之下驷与彼上驷，取君上驷与彼中驷，取君中驷与彼下驷。”既驰三辈毕，而田忌一不胜而再胜，卒得王千金。

——《史记》卷六十五

(一)好马不够，策略来凑

相传战国时代的齐国,有一个大将名叫田忌。有一天,齐王提出来要和他赛马。并且规定:两人各从自己的上等马、中等马、下等马中各选出一匹马来参加比赛，比赛结果,输一匹马就要被罚千金。

当时，很多人都替田忌担心。认为按照当时同等级的马的实力来说,田忌的马都不如齐王的,这次比赛田忌输三千金是肯定的了。

田忌门下有一个幕僚名叫孙膑，这个人是一个很有头脑的军事家。他给田忌出了一个主意，让田忌用自己的下等马对齐王的上等马,用上等马对齐王的中等马,用中等马对齐王的下等马，这样就能只输一匹而赢两匹保证最后获胜。田忌采用了孙膑的办法。

比赛的结果，果然象孙膑预料的那样，田忌的下等马输了，上等马和中等马都取得了胜利，田忌不但不输三千金，反而两胜一负,净赢千金。

(二)策略与运筹

田忌赛马的例子说明在已有的条件下，经过筹划、安排，选择一个最好的方案,就会取得最好的结果。

可见,筹划安排是十分重要的。在数学上,利用数学工具谋求最优安排的一种方法叫做运筹学。

运筹学的思想早在古代就已经产生了。敌我双方交战，要克敌制胜就要在了解双方情况的基础上,作出最优的对付敌方的办法。我国古代就有“运筹惟幄之中,决胜干里之外。”的说法。

但是作为一门数学学科，用纯数学方法来解决最优方法的选择安排,却是晚得多了。也可以说,运筹学是在本世纪四十年代才开始兴起的一门分支。

(三)简谈现代运筹

运筹学主要研究经济活动和军事活动中能用数量来表达的有关策划、管理方面的问题。当然，随着客观实际的发展，运筹学的许多内容不但研究经济和军事的活动，有些已深入到日常生活中。运筹学可以根据问题的要求，通过数学上的分析、计算,得出各种各样的结果，最后提出综合性的合理安排,以达到最好的效果。

随着科学技术和生产的发展，运筹学巳渗入到很多领域里,发挥了越来越玺要的作用。运筹学本身也在不断地发展，现在已经是一个包括好几个分支的数学部门。

运筹学包括的分支有规划论、对策论、排队论等等。下面就先简要地介绍规划论。

(四)规划论与线性规划

现代社会进行的是社会化生产，不管是对于上下游企业，还是对于一条生产线而言，前后工作都是环环相扣，相互关联的，为此我们必须严谨的做出各种生产计划。为了定量的做出计划，取得最优效果，我们需要“规划论”。

规划论的研究对象是计划管理工作中有关安排和估值的问题,解决的主要问题是在给定条件下,按某一衡量指标来寻找安排的最优方案。在生产中常用的方法是线性规划。.

什么叫做“线性规划”呢?这里举例说明一下。

有一个工厂生产A和B两种产品,已经知道每生产一公斤产品A,要用煤9吨、电力4千瓦、劳力3个(按工作日计算),所得的经济价值是7万元;而每生产--公斤产品B,要用煤4吨、电力5千瓦、劳力10个，所得到的经济价值是12万元。而这个工厂现有的条件是360吨煤、电力200千瓦,劳力300个,问在这种条件下应该安排生产产品A.B各多少公斤,才能得到最大的经济效果?根据这个问题的要求,工厂计划人员可以列出数学式子,用数学语言表示。比如,设这个工厂生产产品A.B分别是x1、x2公斤，而x1、x2应该满足下列约束条件:

图一

并且使所创造的财富f(x1,x2)=7x1+12x2的值达到最大。f(x1,x2)也叫做目标函数。

从这里可以看出，不论约束条件或者目标函数都是呈线性关系的。因此,在规划问题中，凡最后能归结成上面形式的数学问题,就叫作线性规划问题。要解决上述类型的问题,从理论.上讲都要解线性方程组。因此解线性方程组的方法(比如叠代法)以及关于行列式、矩阵的知识，在线性规划中都是非常必要的数学工具。

(五)生活中的线性规划——物资调运

线性规划有多种方法，我国数学工作者在实践中创造了物资调运的图上作业法,这也是属于规划论的，下面作简要的介绍。

要在图上作业，首先要会画流向图，比如A是发货点发货10吨,B是收货点收货10吨，那么,可象图一那样标出,A点发货量标10,B点收货量标-10,箭头表示流向，箭头旁边的数字(10)叫做流量。我们规定，流向必须画在前进方向路线的右侧。并且不能通过路线上的收、发点和交叉点(如下图所示),当在一段路上有几个同方向流向的时候，应把它们合并。如下图二中有“正确"二字所标出的。

图二

图三

明确了上面的规定，就可以把收货、发货情况标在图上,然后我们研究最好的调运方案。

要求最好的方案，就要避免运输中的浪费现象。运输中浪费一般讲一种是由于对流,一种是由于迁回。所谓对流就是在一段路线上有同一种物资往返运输。所谓迁回，是指在组成一个圈的运输线中,物资由甲地运到乙地不是走小半圈，而是走大半圈。理论上已经证明,一个物资调运方案,如果没有对流和迁回,它一定是运输力最节省的方案,也就是最优方案。

图上作业法正是寻求这种最优方案的一种方法。它的特点是简单、方便,容易掌握。

对于物资调运问题,还可以用表上作业的方法,这种方法是通过画许多数表来说明具体步骤和原理。

(六)迅速发展的规划论

规划论除了用在物资调运工作以外，还可用在工厂中对机床负荷分配、工业材料的合理下料等寻求最优方案。在农村中还可以对作物布局.劳力调配、麦场、机井、仓库设置等问题提出科学的建议此外,在水利、建筑中对合理调配土方,实施多、快、好、省的施工组织工作都有一定的作用,甚至对于选择最好的邮政投递路线,合理分配邮区等问题,线性规划都是一个好的工具。

虽然规划论的基本思想和一些简单的方法很早就巳产生,但规划论的迅速发展是在本世纪四十年代前后,第二次世界大战时期，生产实践需要和计算机的发展,大大刺激了规划论的发展,迫切需要研究物资调运、下料及生产组织等问题的数学方法。因此，伲使对规划论在理论上进行了一些本质性的研究，致使能实际求解的线性规划的规模愈来愈大。并且规划论和其他数学分支的联系也愈来愈多，应用面也日益广泛。

对非线性的规划问题,就是目标函数和约束条件的数学方程中有非线性的方程的规划问题，数学工作者也展开了研究。这类非线性规划问题在实际中很多,数学模型比较复杂。比如还有一种规划问题和时间有关，叫做“动态规划”。近年来，在工程控制、技术物理和通讯中的最佳控制问题中,已经成为经常使用的重要工具。

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