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数学的“另类思考”——1+1为什么等于2?

作者:数学经纬网发布日期:2019-10-13 22:43浏览次数: 来源:微信公众号

1+1=2,这是最简单的算术,你是否有想过为什么吗?这个等式并非自然而然,是有着必然道理的,一起跟着本文来探索吧!

 在自然数被人们发现之后,很快就不单单用于计数问题了。

1+1为什么等于2?

在求物体数目之和的问题上产生了加法,比如这一堆石头有7个,那一堆有12个,混合到一起,则是12+7=19个;在求剩余问题上产生了减法,比如一堆石头23个,从中分出去5个,还剩23-5=18个,它是加法的逆运算。那么加减法是怎么运算的呢,它们的基础源自大量的现实经验,把12个石头和7个石头混在一起,数一数,是19个,从23个中分5个出去,再数一数,是18个。加减法只是这种现实经验的表达,它的计算方法基于我们的记忆——加法口诀和逻辑——运算法则。如果我们把1升水和1升酒精混合,会发现结果不是2升,而是1.9升,它们不满足加法规则,但没有人说加法的算法是错误的,因为我们默认加法只针对离散的事物。

数学的“另类思考”——1+1为什么等于2?

图一 加减乘除

数字乘法为什么可以交换?

相同的数相加写起来比较繁琐,便是用一种新的方式来表达它——乘法,例如3+3+3+3=3*4=12;同样,相同的数相减便是除法。比如,12能减去多少个3,便是12-3-3-3-3=0,正好减去了4个3,记作12÷3=4。再如,10能减去多少个3呢,10-3-3-3=1,便说:10能减去3个3,然后还余一个,不够减了,记作12÷3=3···1。这就是乘除法。乘除法是加减法的新形式法,它的计算方法也基于我们的记忆——乘法口诀和逻辑——乘法运算法则。而乘法口诀之所以正确,是基于加法的正确。乘法运算法则也是基于加法运算法则。例如乘法交换律,为什么3*4=4*3呢?须知3*4=3+3+3+3,而4*3=4+4+4,这两个是不能直接看出来相等的。但是回归加法的本质,我们便可以理解,3*4是四排小石头,每排3个,假如我们转个方向观看,则是3列小石头,每列4个,即4*3。

这些都是历经千万年,被我们的祖先探索总结下来的,被我们现在称做算术。动物是不能理解算术的。

数学的“另类思考”——1+1为什么等于2?

图二 乘法交换律

小数的加减法为什么跟整数相似?

基于自然数减法运算的需求,比如3-3,3-4的运算,在自然数的基础上,产生了0和负数,这便是整数。然后基于自然数除法运算的需求,比如10÷3的运算,带个余项很麻烦,便直接记作10/3,这是分数。分数很快推广至整数的比。后来又出现了小数,小数是以10为通分项的分数,比如4.123=4+1/10+2/100+3/1000。因为分数本就是除法,所以分数的乘除法运算很简单,因为小数是通分后的分数,所以小数的加减法运算很简单。

有些分数能被10完全通分,可以化为有限小数,比如,1/8=1/10+2/100+5/1000;而有些分数小数不能被10完全通分,比如1/3,只能近似的表达,3/10+3/100+3/1000+···。但1/3可以被其他数比如6完全通分,1/3=1/6+6/36。整数和分数,统称为有理数。

无限不循环小数真的毫无规律可循么?

还有一个有趣的现象,分数产生的小数都是有限小数或者循环小数,还有一些无限不循环小数。循环小数可以用余数来说明,比如12/7,因为余数总比除数7小,比7小的数只有7个,所以至多除7次,必然产生相同的余数,这样,商数也必然相同,反映在小数中,便是循环的开始。而无限不循环小数表现的不能理解的原因,便在于小数的表示方式——以10为通分项的分数。举个例子,比如黄金分割比0.618···,以小数表示便是无限不循环的,毫无规律可循,然而,若以连分数表示,则具有非常明显的规律性。再如,自然指数的底e,不只是无理数,还是超越数,以小数表示当然毫无规律,但倘若我们扩充小数的概念,将其他形式的通分项表示的数也称为“小数”,则e具有极强的规律性,e=1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+···,分子项都是1,分母项按自然数的阶层递增。

数学的“另类思考”——1+1为什么等于2?

图三 不循环的规律

历史上将无限不循环小数称为无理数,原因便是它不可公度,不能用分数去表示。第一个发现的无理数是2的开方。开方是乘方的逆运算,乘法是相同的数相乘,比如2*2*2=2^3,开方则是相同的数相除,比如8÷2÷2÷2=1,则8开3次方便是2。

有理数和无理数加起来我们称之曰实数。


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[责编:大鱼]

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