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虚数是什么?

作者:导学号发布日期:2020-01-26 19:15浏览次数: 来源:微信公众号

我们知道,一个数的平方,永远是正数,10的二次方是正100,负10的二次方还是正100。所以可以理所当然地认为,只有正数才有平方根,负数是没有平方根的。但数学家们在进行计算的时候,其实经常会碰到负数的平方根。比如说,有没有可能找出两个数字,让它们加起来等于10,乘积等于40呢?在实数范围内来看,答案是不存在的。但如果允许负数的平方根存在的话,那我们就可以找出一个答案,只不过这个答案中会包含根号-15这个奇怪的数字。数学家给负数的平方根起了个名字,跟实数相对应,叫虚数,还规定,根号-1叫i,这样的话,根号-20就是20i,根号-15就是15i。

虚数是什么?

虚数

但虚数这个东西,实在是看不出它有什么意义,所以即使它在数学计算里大量出现,数学家们一开始还是不承认它的名分。比如着名的数学家欧拉就说,虚数是想象出来的数,是不可能存在的,它们什么都不是,纯属虚幻。不过话虽这么说,欧拉该用虚数的时候还是用,因为实在没办法,不用的话,很多计算根本无法进行。

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空间中的数

虚数的这种尴尬地位持续了整整有200多年,最后还是两个业余数学家给了它一个名分。这俩人一个是测绘员,一个是会计师,他俩从几何的角度,给虚数做了这样一个解释:你看啊,我们平常说的“数轴”,一般就是画一条横线,然后标上一个零点,左边是负数,右边是正数。那虚数如果要在数轴上找一个位置,应该怎么找呢?这两位说,在这条横线上,那肯定是找不到的,我们应该在零点处画一条跟横轴垂直的纵轴,也标上1、2、3、4……只不过这条线是代表虚数,所以其实是1i、2i、3i……这样一来,两条线组成一个坐标系,所有的数字,就都能在这个坐标系里找到了。比如15i,也就是根号-15,就在坐标轴里的纵轴上,如果是20+根号-15,那就在横轴上找到20,纵轴上找到15i,然后二者一交会,就能在坐标轴里找到这个数字。

虚数是什么?

坐标轴

你肯定想问,道理我都懂,但这个虚数不还是没用吗?其实,虚数还真有用,而且有大用处。我们可以用虚数,来把时间和空间结合起来,构建出一套四维空间的几何学。而这套几何学会让我们发现,时间和空间并不是绝对独立的,也不是恒定不变的。如果你对物理学比较熟悉就会发现,这个观点就是爱因斯坦相对论的雏形。

虚数是什么?

虚数有用吗

我们生活的世界,在空间上是一个三维世界,意思就是说,确定任何一个位置,无论你采用哪种方法,都至少需要三个维度的数据才能确定,比如经度、纬度和高度。但如果我们要确定某件事情的具体状况,那光有空间还不够,还得加上另一个维度,时间。比方说,在2017年9月24日晚上10点,北京市海淀区下了一场雨,这才能准确地说出一个具体的事件。所以,我们需要四个维度,才能准确地确定某件事的时空位置。也就是说,我们生活在一个四维的时空世界中。

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三维空间

但如果要把时间看成是第四维度,就必须要面对一个问题,就是怎么才能把时间和空间联系到一起进行计算呢?比如说,我们怎么才能测量一个四维时空里两个事件之间的距离呢?如果要测量长宽高,那我们可以用统一的单位,比如多少米、多少英尺。但如果要测量时间的话,就只能用小时、分钟、年这些计量单位。那1米跟1小时,怎么结合?

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测量

乍看起来,这个问题就跟负数的平方根一样,毫无意义,但其实也有办法解决。举个例子。如果你出门问路,说地铁站还有多远啊?那人家可能会跟你说,有点远,走路还要20分钟,你不如骑个共享单车,5分钟就到了。这就是一个典型的,用时间来表示距离的办法。我们只要找到一个确定的速度,就可以把时间转换成空间。那怎么找到这个确定的速度呢?你可能已经想到了,就是光速。科学家已经发现,光在真空中的传播速度是恒定的,不受任何情况的影响。如果我们把光速和时间结合到一起,就可以得到一个距离单位,比如光年就是一个距离单位,代表光在一年时间内传播的距离。如果我们要计算5分钟相当于多远,那就用5分钟乘以光速,就能得到一个距离。

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超正方体

现在所有的工具都全了,我们看看科学家是如何确定四维时空里,两个事件的距离的。测量两个事件在空间上的距离很简单,而时间上的距离刚才也说了,我们可以测出两个事件之间的时间间隔,然后乘以光速,就能得到一个距离。

关键在于,时间和空间,毕竟还是不一样的两种东西。不能把这两个结果简单地加在一起,那样是没有意义的。这两个距离必须要有所区分,显示出不同才行。那怎么区分呢?科学家想了个办法:建立一个坐标系,然后把空间距离当做横轴,时间距离当成纵轴,这样一来,四维时间里的距离,就既有空间意义,也有时间意义,能把两者完美地结合到一起。

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维度之外

听到这个坐标轴,你应该想起了刚才说到的虚数吧?没错,在这种计算中,虚数就发挥了重要的作用。因为代表时间距离的那根纵轴,实际上就相当于虚数轴。在四维空间的计算中,时间距离前面,是要乘以i的,也就是乘以根号负1,以显示出时间和空间的本质不同。

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计算

利用虚数将时间和空间结合在一起,组成坐标系之后,科学家发现了一个非常奇异的现象:我们平常所说的两个事件之间的时间距离和空间距离,其实可以看作是四维距离在时间和空间这两根坐标轴上的投影。这么一来,一旦旋转这个四维坐标系,就可以让时间和距离相互转化。从这一点出发,我们会发现,时间和空间都不是恒定不变的,而是跟物体的运动状态有关。什么意思呢?一个静止的人,和一个高速运动的人,时间在他们身上流逝的快慢是不同的。这就相当于运动旋转了时空坐标系,因此改变了四维距离在时空坐标轴上的投影。听到这里,你可能已经意识到了,这不就是狭义相对论嘛。也就是说,数学家们曾经以为没用的虚数,在相对论的计算中就派上了一个大用场。人们恍然间发现,原来看似毫无意义的虚数之下,居然隐藏着如此重要的意义。

虚数是什么?

维度


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[责编:雨滴]

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