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数字起源

作者:数学经纬网发布日期:2019-09-22 21:51浏览次数: 来源:原创

我们从小就知道一二三四五(12345)等自然数,还能用手指进行十以内的加减运算。然而对于这样一个我们如此习惯的概念,其形成却是很慢的。

历史的进程并不是同步的,就像从城市中心走到郊区,我们仿佛从现代逆着时间走到过去。目前,世界上还现存不少处于原始社会,以及处于社会各个阶段的民族和部落,对他们的观察可以让我们跨越时光,走向认知之初。

考察这些部落进行计算的情况,我们发现,有些民族只有多少大小的概念,有些民族没有大于三的那些数的名称,有些民族虽然还可以往下多数几个数,但无论如何还是很快就完结了,他们能计数的只有一个两个三个等,至多二十个,然后把更大的数简单地称作“许多”或“无数地”。

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图一 原始部落

由此可见,起初,人们没有数的概念,只是直觉地感知一堆物体的多和少,比如,我有一小捧枣子,而你有一大捧枣子,明显你多我少。但是,物体的可分离性质使得人们可以将其罗列,这样就可以进行比对,最直接的便是和自己的身体比对,这产生了最开始的数。这可以从有些民族给予数的名称中看出来,例如:“手”就是五,“整个人”就是二十等。

这时的数量并非抽象的,它们总是指具体的实物,并且简单地理解为“就像手上的指头那样多”,而二十被理解为“就像一个人身上所有的手指和脚指那样多”等等。这和有些民族还没有比如“黑色的”“坚硬的”“四个”等等概念的情形完全一样。

为了说明一个物体是黑色的,他们把它与老鸦比较;而为了说明有五个东西,他们就把这些东西直接地与手比较。然后只有比五少,或者多,而没有四个三个等概念。而且常常是这样,即以不同的名称(数)用于不同种类的物体,一些是用来计算人的,比如手(指5个手指头),另一些是用来计算船只的,比如巴(指3只船),等等,共达数十种不同的数,这里不是抽象的数,这些“有名数”是分别属于一定种类的物体的,它们之间也不能运算,比如,手加巴,这是不能理解的。

有一些民族根本没有自然数的独立名称,例如没有“三”字,但是他们能够直接说“三只船”,在“三处地方”等等。这正如我们常常说这个或那个物体是黑色的,但是很少说“黑”本身,因为这个概念比较抽象。

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图二 黑色

关于物体性质的概念,比如物体的颜色或数目,其形成过程,可以分成三个阶段:在第一阶段,性质是由物体的直接比较确定的:像老鸦这个样子,就是手上的指头那样多。在第二阶段,出现了形容词:黑色的石头,同样地出现了数词:五株树等等。在第三阶段,性质脱离了物体,可以变为性质“本身”,像“黑”,像抽象的数“五”等等。

就像黑是具有煤的颜色的各种物体的公有性质一样,数“五”是所有包含像手上的指头那样多个物体的集合的公有性质,于是等数性以及序关系由简单的比对建立起来了。取出集合的一个物体,我们就弯一个手指头,就这样地用手指头一个个数出它们。完全不利用数,就用把两个集合的物体逐一比较的办法一般地即可以断定它们的物体数是否相等,例如,客人入座了,没有作任何计算,可是如果女主人少摆了一付餐具,她却能很容易地查出来,因为一个客人还没有餐具。

这样一来,可以提出数的下述定义:每一个单个的数,像“一”、“五”等等,是物体集合的一种性质。这种性质对于所有那些可以做比对的集合来说是共同的,对于那些不能做比对的集合来说是不同的。

为了要发现这种共同性质,并且把它明显地分出来,也就是为了建立这个数或那个数的概念并给像“六”、“十”等等名称,就必须在不少物体集合之间进行比较、人们世世代代地进行计算,千百万次地重复这同一种运算,于是在实践中发现了数及数之间的关系。

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图三 自然数

对于数进行计算、运算,也正是对具体物体作实在计算的反映,这也可以从数的名称中明显地看出,例如有些印第安人把数“二十六”说成“我们在两个十上面加上六”。显然这里反映出计算物体的具体方法。

尤其明显的是数的加法相当于把两个或多个物体集合堆放在一起成为一个总合,同样地容易看出减法、乘法和除法的具体意义(特别是乘法,可以看出它的产生无非是由于把两个或三个或更多的相同的集合加起来)。

在计算过程中,人们不仅发现和掌握了单个的数之间的关系,比如,二加三等于五,并且还逐渐地建立起一般规律。在实践中发现:和数与几个被加数的顺序无关,也就是对一定物体计算的结果与这计算按怎样的顺序进行无关(后面这种情形具体表现在“序”数与“量”数相致:第一、第二等等与一、二等等相一致)。因此数不是一个个无关的而是处在相互关联之中,一个数在其名称及写法上甚至可通过其他数表示出来,例如,“二十”表示“二个十”,按照法文,80-“四-二十"(quatrevingt),90-“四-二十又十”,又如,罗马数字Ⅷ,IX表示8=5+3,9=10-1。总之,不单是产生了一些单个的数,而且产生了具有一定关系和规律的数的系统。

图四.jpg

图四 运算

算术的对象正是具有特定关系和规律的数的系统,单个的抽象数本身不具有那种包含很多内容的性质,它的性质是通过与其他数的关系确定的。比如,数6的性质,可以指出6=5+1,6=3*2以及6是30的因子等等。这里数6处处与其他数关联着,因此,这个数的性质正是在它同其他数的关系之中。尤其明显的是,任一种算术运算都确定数之间的一种联系,因此,算术研究的是数之间的关系,但是数之间的关系是物体集合之间的现实的量的关系的抽象形态,所以我们可以说:算术是关于现实的量的关系的科学,但是这种关系是抽象的,只是在纯粹形式上加以研究的。

自然数及算术,正如我们所看到的,是反映现实物体的特定的性质,它是由于许多世代的长期实际经验而产生的。


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[责编:大鱼]

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