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在一定的时限内，股票的趋势可以建立数学模型，从而对股票价格的运动趋势做出预测。

股票价格数学模型是针对股票价格与时间之间的数量依存关系，通过抽象和简化，采用数学语言和方法，概括或近似地表述出的一种数学结构。股票价格数学模型从数量关系上对股票价格运动作形式化的描述和刻画，可为研究股票价格运动现象及规律提供简洁精确的数学符号语言。对股票价格数学模型展开逻辑推导、计算和分析，不仅能揭示股票价格运动的规律和特征，而且能够做出科学预见，得出超出感性经验以外的认识和判断，预测出股票价格的运动趋势。

一、随机游走模型：

根据股票价格运动定律，股票对数价格（简称股票价格）y（t）在Δt区间上的一阶差分（对数收益率）为

式中ε（t）为定义在 [-∞，+∞]区间的零均值不相关白噪声，因此Δy（t）不仅表示过去和现在的股票价格差分，而且也表示了未来股票价格的差分，股票价格运动定律已经对未来股票价格的差分做出了判断和预测。

白噪声的功率谱类似于白色光谱，均匀分布于整个频率轴，故称为白噪声。白噪声在不同时刻的取值互不相关，故白噪声在时域的信号波形实际上是一串宽度无限窄、起伏变化极快的随机脉冲。如果白噪声（股票价格对数收益率）序列服从正态分布，则股票价格运动为布朗运动。但国内外学者大量的实证分析表明，股票价格的差分序列并不服从正态分布，而是具有明显的“尖峰厚尾”分布特征，即相对于标准正态分布，股票价格差分序列的概率密度分布峰度更高，两边的尾部更厚。“尖峰”表明股票价格波动大多聚集在均值附近，“厚尾”表明股票价格波动出现极端值的概率要比正态分布数据出现极端值的概率大，即出现“黑天鹅事件”的次数较多。由式（1），我们可得出下一时刻的股票价格

式（2）即为股票价格的随机游走模型。随机游走（Random Walk）的原意是指醉汉走路时，其下一步的方向和大小完全随机，无法预测。股票价格随时间的演变过程与醉汉走路完全相似，下一时刻的股票价格相对于当前时刻股票价格的变化，其方向和大小也是完全随机，无法预测。

这里说的股票价格 “变化”无法预测，是指Δy（t）无法预测，并不是指股票价格y（t）无法预测。根据式（2）的股票价格随机游走模型，下一时刻的股票价格y（t+Δt）等于当前时刻的股票价格y（t）与下一时刻白噪声ε（t+Δt）之和，当前时刻的股票价格y（t）已经发生，为一确定的常数，只是下一时刻白噪声ε（t+Δt）的值无法预测。因此，股票价格y（t+Δt）可以被预测，但不能被精确预测。例如，对上证指数的对数收益率进行统计分析，其标准差为0.03，最大值为0.09（绝对值）。如果今天上证指数的收盘价为2500点，则明天上证指数的预测值就是在2500点基础上，再叠加一标准差为0.03、最大值为0.09的白噪声。也就是说，明天上证指数在2500±75范围内的概率大于68%，在2500±225范围内的概率为100%。到了明天的收盘时间，明天的上证指数收盘价就为一确定的值。

式（2）的随机游走模型与数理金融学中的随机游走模型在形式上似乎相同，但本质上完全不同。数理金融学将随机游走模型中的白噪声假设为随机变量，因此股票价格也为随机变量。随机变量在每一确定的时刻有无数个样本值与其对应，但股票价格在每一确定的时刻只有一个样本值与其对应，因此数理金融学的随机变量假设与事实明显不符，从而会得出股票价格不存在趋势、股票价格不可预测等错误结论。

二、累加模型

以等时间间隔△t对y（t）采样，用序号n表示时间n△t ，则式（1）可写为

设y（0）=0，对式（3）反复迭代，可以得到t=N时刻的股票价格

在t=N时刻，上式中的ε（1）、ε（2）…ε（N）均已发生，都是确定性的常数。因此，股票价格y（n）不仅与当前的ε（n）有关，而且与过去的ε（1）、ε（2）…ε（n-1）都有关，表明y（n）具有记忆性。利用式（4）可以预测股票价格未来的长期趋势，将式（4）改写为

式中A为ε（n）在[0，N]区间的算数平均值。白噪声信号ε（n）在 [-∞，+∞]区间的算数平均值A等于零。但在[0，N]有限时间区间，算数平均值A不等于零。A的物理意义表示白噪声信号ε（n）在 [0，N]区间的直流分量，反映了白噪声信号在区间[0，N]中的确定性成分。根据式（5）股票价格y（N）等于白噪声ε（n）在[0，N]区间的算数平均值A与时间N的乘积这一原理，可对上证指数未来20年趋势进行预测，见《上证指数未来20年趋势预测》。

三、积分模型

将式（1）的差分方程看作离散化的微分方程，设ε（0）=0，可得出股票价格积分模型：

显然，股票价格y（t）是对白噪声函数ε（t）的变限积分。

式（6）的积分模型具有如下特点：

（1）可根据ε（t）的历史数据精确计算出y（t）的历史数据；

（2）ε（t）定义在定义在（-∞，+∞）区间，因此，可根据ε（t）的统计特性，由积分模型推导出y（t）过去、现在和未来的统计特性，为y（t）未来的趋势预测提供理论依据。

（3）股票价格数学模型为非线性时变模型，即股票价格的数学模型参数（积分上限）会随时间变化，这就是为什么根据股票历史价格数据建立量化模型时，量化模型具有时效性的原因。

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[责编：大鱼]

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