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通过数学建模，我们可以建立模型预测人口的数量。在对模型修正的过程中，我们能够更加准确的认识到人口的年龄构成，从而进行更精确的人口控制。

微分方程模型是我们在日常生活中比较常见并且比较重要的一种模型，我们在平时的课程中时经常会涉及到这种题型，像比如我们所遇到的牛顿云第二定律就常遇到相关的问题。小编就不在此细说了。

微分方程模型大体可以分为以下几个步骤：

1.      确定实际的量（所有要求的自变量、未知函数、必要参数）并确定坐标系。

2.      找出这些量所存在的基本关系（物理、化学，生物、几何等关系）。

3.      运用这些关系列出方程和定解条件。

4.      行方程检验。（要知道模型与现实相结合可以得到更为准确的模型）

大家估计还不太清楚到底如何具体分析这些问题，小编在这里给大家介绍的微分方程模型是人口预测模型，这是一个极为经典的微分方程模型，几乎是每本建模教材必讲的一个模型，小编我希望该模型对大家有所帮助。

Malthus 模型

1789年，英国神父、人口学家Malthus在分析了一百年多年间人口统计资料后，提出了Malthus模型。该模型也被称之为指数增长模型。

模型假设

（1）设x(t)表示t时刻的人口数，且x(t)连续可微。

（2）人口的增长率是常数r（增长率=出生率—死亡率）

（3）人口数量是封闭的（不计入迁入迁出率，每一个人的生长情况相同）

模型求解

记今年人口为x0 ，k年后人口为xk，年增长率为r，则

且根据增长率不变易得，dx/dt 等于r乘以x(t)，于是得到微分方程

由此以得出

评价与思考

在1961-1970年这段时间内，每年平均的人口增长率为2%，1961年人口有3.06亿人，若用此公式我们可得到当t=2679时有人口4400万亿，这明显是不可能。显然该模型的增长率r估计过高。任何地区的人口增长都不可能无限增长（指数模型是不可以进行预测长期的人口变化），我们要对人口进行长期的预测就要进行模型改进。

Logistics模型

由于人口增长到一定数量后增长率会受到自然资源、环境影响等因数对人口的增长会起到阻滞作用（人口越多增长率所受影响会越大）。该模型也被称为阻滞增长模型。

模型假设

（1）设r(x)为x的线性函数，r(x)=r-sx（在建模中我们应该先选用次数低的函数来建立关系，r是固有增长率（即人口很少时增长率），s与最大人口有关）

（2）自然资源与环境条件所容纳的最大人口数xm，即当x=xm时，增长率r(x)为0

建模求解

我们现在先要求解增长率r(x)

现我们易得该方程为

评价与思考

人口变化率dx\dt 在x=xm\2时取到最大值，人口增长速率是先增大再减小，受外界的影响逐渐增大。如下图

这个模型相对于Malthus模型在长期预测中就更加的准确。但是该模型还是有一定的问题就是无法预测和计算各年龄段的人数。

模型参数估计、检验与预测

对这一步骤，在此小编不过多的累述，这一步主要是需要通过大量的数据来进行回归分析，求出我们想要的结果，并进行模型改进。在此也有一些专家学者会用一些经验法拉设置参数，但是对于我们还是要严谨一点，用回归仔细来计算。（在接下来的推送中，我们会为大家进一步讲解回归分析）

对年龄结构的分析

前两种模型都是对人口总数和总的增长的分析研究，而我们对个年龄段的分析研究也是极为重要的。年龄结构同样是人口分析中的一个极重要的因数，有助于我们研究人口发展趋势。

人口发展模型

为研究任意时刻不同年龄的人口数量，我们现判定在t时刻年龄小于r的人口称为人口分布模型，记作F(r,t)，并有

人口密度函数定义

p(r,t)dr表示t时刻年龄在区间[r, r+dr)内的人数μ(r, t)为t时刻年龄r的死亡率，则μ (r, t)p(r, t)为在t时刻年龄在[r, r+dr)死亡人数单位时间内的死亡人数

现可以考虑在dt时间内人口死亡变化，故此我们可以建立如下方程：

上式可写作：

p(r, t)的一阶偏微方程，μ(r, t) 是已知函数，现我们可令两个初始条件：

初始密度函数p(r, 0)=p0(r)，

婴儿出生率  p(0, t)=f(t)，

故可以得出

且

对于死亡率，我们假设在一定年龄段内死亡率不变，故μ(r, t)=μ(r)，则我们可解的

在t∈[0,r]中，可理解为人口变化趋势，由初始人口数决定，在t∈(r,∞)中，可理解为未来人口（婴儿）发展趋势，由婴儿死亡率决定（0<s<r）

生育率与生育模式

在对于上面的式子中，我们现在要进一步婴儿的出生率f(t)，记女性性别比函数为k(r, t)，则t时刻年龄在[r, r+dr)的女性人数为k(r, t)p(r, t)dr，在育龄期间为[r1, r2]，单位时间内女性平均生育数记为b(r, t)，β(t)表示t时刻单位时间内平均每个女性的生育数（生育率），h(r,t)是女性的生育加权因子（加仅因子就是你根据实际情况对某个因素所占比重进行加重），在此可理解为生育模式，则

于是

对于h(r,t)其实与时间关系不大与年龄关系更大，我们令其为h(r)，同时我们还可以预测出h(r,t)其实是先升高再下降（用回归方程），类似于正交分布图。如图

现在我们就可以比较准确的预测出各年龄段的人数和分布情况

人口发展分析

控制人口的生育主要是有两种，就是控制h(r)和β(r,t)控制出生人数和结婚的早晚，这样可以从方程的最初量来控制人口数量，毕竟不可能提高死亡率。

但是模型在反馈作用下还是有很大的滞后作用，所以在人口管理的政策会对人口影响很大，一旦人口政策失误人口的变化就容易失控，这是一个比较复杂与困难的计算，我们在此就不做分析了（小编在此也不太明白/(ㄒoㄒ)/~~）

不过现在我们还是可以计算出平均年龄、平均寿命和老年化指数。小编觉得可以算出这么多还是可以了。大家如果有兴趣可以算一算哦~~~

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[责编：大鱼]

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