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数学与物理桥梁下的鸟瞰(上)

作者:中科院理论物理研发布日期:2019-12-15 10:39浏览次数: 来源:微信公众号

序:本文作者NataliePaquette是加州理工学院的一名博士后研究员。这篇精彩的文章涵盖了数学物理的诸多领域,介绍了其中令人拍案叫绝的科研进展。通过拓扑场论,Donaldson理论,枚举几何,魔群月光等方向,展示了数学和物理之间深刻的相似性,体现了物理学的思想对于数学发展的启发。是一篇不可多得的数学物理科普佳作。

弦理论:

弦理论是一个引力的量子理论。Albert Einstein的广义相对论可以从弦论的方程中自然的衍生出来。这个结果是自洽的,因为它的计算并不会导致发散。弦理论也许是唯一自洽的引力的量子理论。如果它是对的,那么它将具有巨大的价值。无论它是不是对的弦理论都无疑是数学中许多惊人的想法的来源。这是非常奇怪的一件事。因为之前总是数学影响物理学。当爱因斯坦努力的想要表达广义相对论的时候,他发现他需要的工具早在60年前就已经被黎曼创造出来了。这是个典型的例子。并且数学家在物理学家开始用群论之前早就发现了它。而在弦理论中,这却是反过来的。物理学将它尊贵的想法提供给了数学。这个结果就是Greg Moore所说的物理数学。

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图一 超弦理论

拓扑场论:

我们总是在平直的空间背景下发现物理。弹力球是圆的,但是桌子是平的。在地球表面做实验的时候,我们认为地球的曲率是可以忽略的,将三维的欧式空间作为我们的背景。从球面推到环面,再继续推广,我们可以在更多的形状上研究物理系统。这些提供了一个不同且令人兴奋的理解物理的方式。一个被束缚在有磁场流通过的球上的电子只能占据特定的量子化的能级。相似的,一个环面有两个非平庸的环路(cycle)。弦的缠绕数记录了它在每个环路(cycle)中绕了多少次。

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图二 环面与环路

量子力学是一回事,狭义相对论是另一回事。这些理论不是自然的共存的。正统的量子力学不允许粒子的产生和湮灭。狭义相对论支持它们。我们需要引入场来处理这个不一致。量子场论是满足狭义相对论的量子力学系统。标准模型是一个量子场论。物理学家总是给量子场论以额外的对称性。例如,超对称理论要求粒子是配对的。对于每个玻色粒子总有一个费米子作为超伙伴。超对称场论有一个令人沮丧的障碍。假设一个超对称量子场论定义在一个一般的弯曲流形上。牛顿物理的欧式度规和狭义相对论的洛伦兹度规被流形自己的度规代替。超荷对应于守恒的Killing旋量。在平空间下Killing旋量方程的解有很多,但是在弯曲空间下这个解变的非常的有限。它们太有限了,以至于一般情况下是没有解的。将一个平空间的超对称场论推广到一般的弯曲流形上破缺了所有的超对称。卡拉比-丘流形,它们是满足特定的平直性质-----里奇平直性,一种弱化了的平直性的流形。它们允许有守恒的Killing旋量。

但是球面没有这样的解。上世纪80年代,Edward Witten给物理学家介绍了拓扑扭变。一个扭变可以成功的将超对称场论耦合到弯曲流形上。选取正确的扭变,Killing旋量方程的非平庸解就会出现。这很大程度上是一种营救措施,我们拯救了一部分在平空间中发现的超对称。扭变理论中的物理观测量就是非扭变理论中出现的观测量的子集。尽管非扭变理论中的观测量,在诸多因素中,依赖于背景流形的精确几何结构,出现在扭变理论中的子集只依赖于流形拓扑方面的细节。这是重要的,并且在数学上也是重要的。拓扑扭变场论有时也被叫做上同调场论。这个扭变给这一个理论提供了格拉斯曼或者反对易的标量对称性Q。物理可观测量在这个对称性的上同调中。度规的变形对于Q算子是恰当的,它立刻强化了理论的关联函数的度规无关性。对于Q操作闭的场的关联函数某些时候可以通过强大的超对称局域化的技术来精确计算。这些可以计算的关联函数是拓扑或者几何的不变量。即使不考虑物理,这些不变量依然是许多数学课题的焦点。

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图三 Edward Witten

Donaldson理论:

四维几何具有丰富的特殊结构。数学家的第一要务是通过对四维流形进行分类来给这个丰富的结构赋予秩序。不是每件事都马上要做。关键的事情要先做。例如什么时候两个流形是拓扑等价的,即同胚的。在1982年,Michael Feedman展示了两个流形是同胚的当且仅当它们在(上)同调格子里有着相同的相交形式(intersection form)。其次重要的是,同胚的流形不一定是微分同胚的。作为光滑流形它们不是等价的。光滑性给流形之间提出了新的层面上的问题。如何分辨相互之间同胚但不是微分同胚的流形和相互之间微分同胚的流形?1983年,Donaldson在四维光滑流形中引入了一系列的不变量,用以区分同胚但不是微分同胚的流形。Donaldson不变量有着严格的几何定义,但是它们却受到了杨米尔斯规范理论的瞬子构形的启发。这个构形是理论的运动方程的解。在数学家之间,这个解叫做反自对偶联络。

给定一个李群G和M上的一个主丛P。联络是A,这个量可以和平移的概念结合起来。物理学家把A叫做规范场,就像所有其他的场一样,A在路径积分中是允许涨落的。M上还有其他自然的矢量丛。通过应用G的主丛,这些是和G的表示相关的伴丛。它们的联络可以从A诱导出来。物理学家把这看作物质场。A的曲率是一个叫做规范场强的二形式,它可能会分解成自对偶和反自对偶的分量。如果一个场强是完全反自对偶的,那么它们在M上的积分是一个正整数,叫做瞬子数。反自对偶联络使杨米尔斯作用量取极小值,因此不同的瞬子数标志着不同的拓扑分支,或者叫做场构形空间中的不同区域。对于一个固定的瞬子数,对于可能的反自对偶(ASD)联络存在一个抽象的几何空间--瞬子模空间。在最简单的情况下,模空间的方向对应于一些参数,例如瞬子的空间位置。

Donaldson用微分形式的积分定义了他的拓扑不变量。微分形式的积分并不比高等微积分更为复杂,但是Donaldson对于这些技术的使用给人最为印象深刻的一点是,他决定在反自对偶(ASD)联络的模空间下计算这些积分。Donaldson也构造了一个映射来从M的同调群中得到合适的微分形式。在理解Donaldson不变量的过程中,物理学家挖到宝了。他们提供了一个实际的计算,和在完成证明中需要的几个重要概念。M上的Donaldson不变量能够被整理成Donaldson-Witten生成函数。“Donaldson-Witten”中的Witten是Edward Witten,唯一一个得到了菲尔兹奖的物理学家。

在1994年,Witten给数学家引入了杨-米尔斯的扭变超对称版本,将这个理论放在了弯曲的四维流形上。这个结果是Donaldson-Witten理论。Donaldson不变量变成了扭变杨米尔斯的关联函数。每个关联函数用来计算Donaldson-Witten生成函数的一个系数。Witten清楚具体的展示了拓扑场论中规范不变的多项式,以及它们的Q对称性,是如何生成Donaldson映射的像中所有的微分形式的。Seiberg和Witten之后做了一个关于超对称规范理论的漂亮的工作,发现它们的行为等价于一个描述弱耦合磁单极的场论。这两个看上去不同的物理系统之间的等价性叫做对偶。它们在场论和弦论中到处都是。这个系统的一种描述是容易研究的,而另一种通常不是。Seiberg和Witten的工作导致了一类新的可以计算的几何不变量,叫做Seiberg-Witten不变量,它计数了磁单极方程的解。Witten描述道,这些不变量表达了Donaldson不变量能提供的所有信息,但是它们简单的磁单极描述使得Donaldson不变量的许多性质非常的平常并且很容易计算。隔了几周之后,Donaldson写道:“ 长时间的问题解决了,新的预想不到的结果发现了,已知的结果有了新的证明,研究的新天地打开了。”

深刻而困难的数学想法的极端简化的版本是从理论物理中获得的。数学家从没想过可以得到它,而物理学家从没想过可以给出它。


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[责编:大鱼]

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