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数学是一种不同于普通经验世界的知识，它建立在一些看似无可置疑的前提之上，是纯粹演绎的系统，数学的知识让人着迷，它是一种确切可靠的知识，具有哲学家们所说的先验性----一种先于经验的知识，比如说我在知道3个苹果和4个苹果放在一起是多少个这个经验前，就已经先验的知道它们加在一起将会是7个，这种知识具有必然性和普遍性，必然如此（3+4个某物必然等于7个某物）并且普遍都如此（无论某物是什么），跨越时间和空间，无论是在古代还是在现代，抑或是将来，也无论在世界的任何地方，数学这种知识，都是确切可靠的。这与我们通常的知识是大不一样的，比如说我们有一种知识“鸟可以在天上飞”，这种知识具有一定的或然性，它并不具备数学上的必然性和普遍性，即使我们所有人见过的所有鸟都可以飞，也无法确定在将来不会有人发现有一种鸟不可以在天上飞，这种知识便具有一定的或然性---可能为真可能为假，直到我们认识到了诸如驼鸟这种鸟，它便不能在天上飞，我们便知道这种知识并不具有数学的那种必然性和普遍性，它总有可以在经验上找到不适用的可能性。当然，这并不影响我们使用这种知识“鸟可以在天上飞”，在大部分的情况下，这种知识仍然是有效的。

哲学所向往的便是建立起来一种可靠的普遍性的知识，哲学追求的是永恒，自从希腊数学家们把数学逻辑演绎的系统建立起来后，数学这种知识的可靠性便让哲学家们着迷，给哲学带来了持久而深远的影响。

罗素在《西方哲学史》一书中写到，自从毕达哥拉斯把数学的神秘感引入到哲学里面来以后，影响了从柏拉图直到康德的整个西方哲学。据说柏拉图叫人在学园的门口立了一块牌子:“不懂数学者不得入内”。

以下部分参考自邓晓芒《纯粹理性批判句读》。

数学和物理学是应当先天地规定其对象的两门理论的理性b知识,前者完全是纯样地规定,后者至少部分是纯粹地、但此外还要按照不同于理性来源的另一种知识的尺度来规定。数学在人类理性的历史所及的最早的时代以来,在值得惊叹的希腊民族那里，就已走上了一门科学的可靠道路。但是不要以为,数学就像理性只和自己打交道的逻辑学那样,很容易地一下就走上了、或不如说为自己开辟了那条康座大道;我倒是相信,数学(尤其是还在埃及人那里时)长时期地停留在来回摸索之中,而这场变革要归功于一次革命,它是由个别人物在一次尝试中幸运的灵机一动而导致的,从那以来人们就不再迷失这条一他们必须采取的道路,一门科学的可靠途径就为一切时代、且在无限的范围内被选定并被勾画出来了。这一比发现绕过好望角的路途更为重要得多的思维方式革命的历史及那位实现这一革命的幸运者的故事,没有给我们保存下来。但毕竟,在第奥根尼•拉尔修流传给我们的传说中,他提到据称是几何学的演证的那些最不重要的、按照常识简直都用不着证明的原理的发现者,这说明,对于由发现这一新的道路的最初迹象而引起的变革的怀念,必定曾对数学家们显得极为重要,因此才没有被他们所忘记。那第一个演证出等腰三角形的人(不管他是泰勒斯还是任何其他人) ,在他心中升起了一道光明;因为他发现,他不必死盯住他在这图形中所看见的东西,也不必死扣这个图形的单纯概念, 仿佛必须从这里面去学习三角形的属性似的,相反,他必须凭借他自己根据概念先天地设想进去并(通过构造)加以体现的东西来产生出这些属性,并且为了先天可靠地知道什么,他必须不把任何东西、只把从他自己按照自己的概念放进事物里去的东西中所必然得出的结果加给事物。

康德《纯粹理性批判》

数学“完全是纯粹地规定"它的对象的,所谓“纯粹地”,在康德那里就相当于“先天地”,也就是排除了一切后天经验性的东西而纯粹由主体自身提供的形式来规定。数学就是这样,在后面的“先验感性论”中康德认为,数学是纯粹凭借先天的时间和空间来规定它的对象的,它的对象就是数和形,算术凭借时间来规定数量, 几何学凭借空间来规定形状;而时间和空间只不过是认识主体的先天直观形式,它们最容易构成后天经验性的杂多事物之所以可能的条件,但本身不是经验性的,而是主体先天的一种接受能力, 因此是“纯粹的”。在数学中,即在算术和几何学中,一切都是纯粹的和先天的,虽然这种先天不是一下子就全部摆在你面前,而需要证明、推导甚至绞尽脑汁,但一旦发现出来,你必然马上会知道它本来就是先天的,不可能是别样,而是放之四海而皆准的永恒的普遍真理。

在此之前,广义上的数学在埃及、巴比伦、印度就已经相当发达了,希腊数学就是吸收了这些数学成果而发展起来的。但是这些古老的数学都未能达到希腊数学这样一种理论化、系统化的规模,而只是一些测量术的经验之谈和零星思考的痕迹。数学如果停留在实践技术的层面,它就还不成其为一门“科学" ,因为它还没有科学之“魂”,没有科学精神。技术只有附属于真正的科学之下才能成为“科技”,否则本质上无非是一种高级的巫术而已。西方的科技最初传入中国时,我们就是这样看待它们的,把它们称之为西方的“奇技淫巧”,因为我们无法理解它们后面的科学精神和科学原理。西方人则从古希腊几何学的演绎体系开始即已脱离了这个阶段,而“走上了一门科学的可靠道路" ,这的确是“值得惊叹的”。所谓“可靠道路”就是指理性的道路,就是纯粹先天地证明和展示普通原理的道路,这对于还停留于测量术阶段的思维来说绝对是一个飞跃。

希腊人在数学上也不是轻而易举地就走上这条可靠的康庄大道的,至少它不像逻辑学那样可以单凭在理性本身中搜寻和整理就可以找到办法,逻辑学在这方面有一个最方便的现成的线索,那就是人类的语言和语法。亚里士多德就是这样从人们的说话方式中直接发现逻辑学的基本原理的,他不需要构想和接触任何对象。数学的基本原理则要麻烦得多,它不可能直接从语言中找出来,而必须在时间和空间中构想出一个对象, 一个数量或者形状,并从这些数量和形状的关系中发现我在构想它们时所使用的先天原理。所以康德相信数学在希腊人以前曾“长时期地停留在来回摸索之中”,比如埃及的数学在希腊人以前就存在了几千年,按照他们的数学测量术建立起来的最大的胡夫金字塔就建于公元前两千七百年,但他们的数学始终是一种测量术,未能上升到演绎系统的高度。为什么唯独希腊人才发明了数学的演绎系统? 康德无法解释这个事实,他只能归之于个别人物在一次尝试中幸运的灵机一动”。这等于什么也没有解释。应当说,埃及人之所以没有发明几何学的演绎系统,与他们的靠天吃饭的自然经济的农耕文化有关,他们不需要发明能够超越经验自然之上的想象世界来居高临下地掌控自然,来预测自然界各种意想不到的偶然情况并按照普遍原理作出对策,而只须适应和接受自然给他们带来的恩恵就行了。希腊人作为一个航海和工商业的民族则要应付各种复杂得多的外部情况,例如他们观测星空并不仅仅是为了掌握农时和预测凶吉,而是为了利用天文气象规律进行商业投机,就像传说中泰勒斯做的那样。泰勒斯通过观天象预测到来年税基境大丰收,于是预先低价租用了当地全部榨油机,到橄榄收获季节以空断价格取得了丰厚的利润。这种人为的操纵和控制需要对各种自然规律的一个全盘考虑和规划,是一个具有世界眼光和商业头脑的人才能构想得出来的。康德虽然对这些背景所起的作用并不知道,但他对希腊人的这一发现极为推崇。

等腰三角形两底角相等,这几乎是一望而知的,似乎用不着大张旗鼓地证明。几何学中很多基本的定理也是如此。但希腊人的特点正在这里,就是不盲目相信自己的眼晴,而是对任何明显的事情都必须纳入一套证明体系里面去论证一番。这在初看起来似乎显得多此一举,但在接下来遇到更复杂的情况时就显出这种方法的优势来了。所以康德从这一事例中看出了它的重要意义,就是这种看起来很简单的方法其实蕴含着“新的道路的最初迹象”,它将引起思维方式的巨大“变革”。他认为,正是古代科学家们对这种看似不起眼的方法的重视,才形成了西方科学精神的一种世代相传的传统,这种传统是不会被他们忘记的。

第奥根尼•拉尔修在他的书中曾把“等腰三角形两底角相等”这一定理归于泰勒斯,虽然并不完全可信,但康德关注的是这一定理的发现过程。按他的分析,发现者一方面并不“死盯住他在这图形中所看见的东西”,就是说并不着限于图形中的感性质料;另一方面也不“死扣这个图形的单纯概念”,就是说也不是从抽象概念的层面上来进行一种纯概念分析,或者作一种概念上的归类,“仿佛必须从这里面去学习三角形的属性似的”,即通过概念定义而把一种属性赋予三角形的概念;“相反,他必须凭借他自己根据概念先天地设想进去并(通过构造)加以体现的东西来产生出这些属性”,也就是必须借助于概念来设想一个图形,并使这个图形在直观中得到体现,亦即用直观把图形“构造”起来,具体产生出在概念中只是抽象设想的那种属性。这里虽然没有直接提到直观,但所谓“构造”、“体现”都隐含着康德在后面“先验感性论”中所讨论的直观的意思,即先天直观形式。直观只能“构造”而不能思维,它也不是感性的质料,而是感性的纯形式,所以它是处于感性质料和抽象概念之间的东西,属于人的主观先天能力。几何原理的发现者正是抓住了这一中间环节,既不是着眼于感性质料,,也不是着眼于抽象概念,而是用自己的先天直观形式构造出一个图形来。当然这种构造也是以概念作为引导的,但本身并不是概念的思维活动。所以康德才能说,这个发现者“为了先天可靠地知道什么,他必须不把任何东西、只把从他自己按照自己的概念放进事物里去的东西中所必然得出的结果加给事物”。也就是说,他从图形里面所看出的正是他自己放进图形里面去的东西,他在对象中(在图形中)所发现的定理和法则正是他自己的先天直观形式本身的定理和法则。换言之,他自己主体中的定理和法则成了规定对象(图形)的普通必然的法则,成了几何学的客观法则。主客观在这里达到了同一 ,客观法则真正说来是由主观建立起来的。正是对这一点的发现,被康德比喻为在发现者心里“升起了一道光明”,也就是一种通明透亮的感悟, 原来人在数学中并不是一无所为,并不是完全被动地接受客观规律,而是自己在构造客观规律，他认识对象其实本质上是认识自我,认识自己的先天直观能力。同样,也正是由于这种主观性, 他所发现的这些定理和规律才有可能是普遍必然的,因为他是用同一个时间空间框架去认识任何图形的,所以这个时空框架本身固有的法则也必然会带给所有一切图形。如果不是这样,如果他所发现的规律是在客观图形中偶然碰上的,哪怕是多次甚至是在一切场合都碰上的,那都无法保证这种规律具有无所不包的普遍性和毫无例外的必然性。所以这里的关键在于,数学中的法则的普通必然性来自于我们人自身的先天形式,是我们把自己的东西放进图形中去构成了图形。这就是希腊的智慧之士所悟出的道理,这是所有其他民族的聪明人都未曾想到过的。这就不难解释为什么希腊数学家努力寻求的不是各种具体测量的数据,而是在一个主体的统摄之下完整的演绎系统了。因为他们悟到了人在认识活动中的主体能动性。

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