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上一期，我们讨论了康托尔提出的比较两个集合基数大小的原则.

比较集合基数大小的原则：

设A, B是两个非空集合.

(I) 如果A与B之间存在一个一一映射, 则称它们具有相同的基数;

(II) 如果A与B没有相同的基数, 但A与B的一个真子集有相同的基数, 则称A的基数比B的基数小.

第二期，我们探讨了两个不同的无穷大, 自然数集的基数и0和实数集的基数и1，并且得到结论и1>и0.

那么有没有比и1还大的无穷大呢? 有没有比и0大又比и1小的无穷大呢? 这是我们今天要分享的主要内容.

5. 有没有比и1更大的无穷大呢?

设A是一个非空集合, 则A的幂集的基数大于A的基数. 若A的基数是α, A的幂集的基数记为2^α, 则

为什么呢?假设A的幂集与A有相同的基数, 可以用康托尔的对角线法找出矛盾. 把A看作一个动物的集合. 把A的子集看成是一张包含一些动物的合影. 如果集合A与它的幂集之间是一一对应的, 则按照这个对应关系把每张照片送给与之对应的动物. 当且仅当动物拿到的照片中有自己时, 它是开心的. 我们考虑包含且只包含了所有不开心的动物的一张合影, 我们不妨称这张合影为“不开心合影”. 由一一对应关系, 这张照片必须送给某一个动物, 我们不妨设这个动物叫“小D”. 假设小D是开心的, 则它应该在它拿到的不开心合影中, 所以它又是不开心的; 假设小D是不开心的, 则它应该不在它拿到的不开心合影中, 所以它又是开心的. 无论怎样, 小D既是开心的又是不开心的, 这是不可能的. 因此没有动物得到那张不开心合影. 假设A的幂集与A基数相同导致了一个矛盾, 这说明它们不可能具有相同的基数.

另一方面, A与幂集的一个子集有一一对应关系. 事实上, 只要把每个动物与它的肖像对应起来即可.

按照康托尔比较两个集合基数大小的原则2^α>α,  由此我们可以进一步得到

也就是说, 有无穷多个不同的无穷大!

6. 连续统假设

现在我们知道, 不同的无穷大有无穷多个. 最小的那个是и0, 再大一点的有и1. 那么有没有严格大于и0又严格小于и1的无穷大呢? 1874年康托尔猜测这个问题的答案是否定的. 这就是着名的连续统假设.

连续统假设：不存在这样一个集合, 它的基数大于可数集合的基数и0又小于实数集合的基数и1.

在1900年第二届国际数学家大会上, 希尔伯特提出了20世纪有待解决的23个重要数学问题, 其中排在首位的就是康托尔的连续统假设. 因此连续统假设又被称为希尔伯特第一问题.

通过数学家们几十年的努力, 关于连续统假设取得了一定的成果. 1940年哥德尔(Kurt G?del)证明了连续统假设和世界公认的ZFC公理集合论系统不矛盾, 即, 在ZFC公理集合论系统下, 不能证明连续统假设是假的. 1963年美国数学家寇恩(Paul Cohen)证明了连续统假设和ZFC公理集合论系统是彼此独立的, 即, 在ZFC公理集合论系统下, 也不能证明连续统假设是真的. 也就是说, 在ZFC公理集合论系统下, 关于连续统假设, 我们既不能说它是真的, 也不能说它是假的.

附录

在《无穷的正确认识：无穷大也能比较大小——从集合说起（上）》我们提到一个问题:

希尔伯特设想一个旅馆, 内设无穷多个房间, 已经都住满了旅客. 现在来了无穷多个旅行团, 每个旅行团有无穷多位旅客. 旅馆老板是怎么样把这些旅客全部妥善安排进自己旅馆的呢?

第一步: 将原住的旅客全部安排到偶数号房间.

第二步: 将所有的奇素数排成一列,

{3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …}

这也是一个可数集合.

第三步: 将旅行团排成一列, 记为1, 2, 3, …号旅行团. 然后依次安排各旅行团的旅客.

将1号旅行团的旅客安排到第1个奇素数的k次幂房间, 即3,3^2,3^3...号房间；

将2号旅行团的旅客安排到第2个奇素数的k次幂房间, 即5,5^2,5^3...号房间;

将3号旅行团的旅客安排到第3个奇素数的k次幂房间, 即7,7^2,,7^3...号房间;

…….

这样所有的旅客都安排好了, 而且还空出了1, 15, 21, 33, 35, … 这些不能表示为奇素数k次幂的奇数号房间.

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