关注数学发展弘扬科学精神

关注数学发展,弘扬科学精神,专注数学科普

您的位置:主页 > 数学哲学 > 无穷的正确认识:无穷大也能比较大小——从集合说起(中)

无穷的正确认识:无穷大也能比较大小——从集合说起(中)

作者:阿得学数学发布日期:2019-11-23 19:42浏览次数: 来源:微信公众号

上一期,我们讨论了康托尔提出的比较两个集合基数大小的原则:

设A, B是两个非空集合,

(I) 如果A与B之间存在一个一一映射, 则称它们具有相同的基数;

(II) 如果A与B没有相同的基数, 但A与B的一个真子集有相同的基数, 则称A的基数比B的基数小。

以及康托尔-伯恩斯坦定理:如果A与B的一个子集有相同的基数, 且B与A的一个子集有相同的基数, 那么A与B有相同的基数

并举例说明 {正奇数全体}, {正偶数全体} 和 {正整数全体} 具有相同的基数, 实数集R和开区间(0,1)具有相同的基数。 详细内容参见上期文章。

那么是不是真的有不同的无穷大呢? 也就是说,是不是存在两个无穷集合具有不同的基数呢?这是我们今天要分享的主要内容。

3. 最小的无穷大и0

全体自然数构成的集合

无穷的正确认识:无穷大也能比较大小——从集合说起(中)

是一个无穷集, 记它的基数为и0。 所有基数为и0的集合称为可数集。

首先说明, и0是最小的无穷大。 为什么呢? 因为任意一个无穷集合A都至少包含一个可数子集, 所以A的基数必不小于и0。 事实上, 因为A是一个无穷集, 它不是空集, 总可以从A中取一个元素, 记为a1; 由于A是无穷集, 故A\{a1}不是空集, 于是又可以从A\{a1}中取一元素, 记为a2, 显然a2是A的元素且a2与a1不同; 由于A是无穷集, 故A\{a1,a2 }不是空集, 于是又可以从A\{a1,a2 }中取一元素, 记为a3, 显然也是A的元素且a1,a2,a3 , 互不相同; 这样依次下去, 我们就找到了A的一个无穷子集

无穷的正确认识:无穷大也能比较大小——从集合说起(中)

这个子集与自然数集N具有相同的基数。

在上一期第2节, 我们已经知道, {正奇数全体}, {正偶数全体}和自然数集N具有相同的基数, 所以它们的基数都是и0。 除此之外, 还有哪些我们比较熟悉的集合的基数是и0呢?

3.1 整数集

整数集Z的基数是и0。 事实上, 我们可以像希尔伯特旅馆的老板那样找到整数集Z和自然数集N之间的一一映射, 假设{0,-1,-2···}是新来的无穷多位客人, 对应关系如下表:

无穷的正确认识:无穷大也能比较大小——从集合说起(中)

3.2 有理数集

有理数集Q的基数也是и0。 我们设法找到有理数集 Q与自然数集N之间的一一映射。

第一步: 用一条无限螺旋路径, 为一个无穷正方形方格与自然数集N建立一一映射。 如下图所示, 1对应着正中的正方形, 然后2与1右方相邻的正方形对应, 如此类推。

无穷的正确认识:无穷大也能比较大小——从集合说起(中)

第二步: 如下图所示, 给方格编号。 第一步中与1对应的正方形所在的行定义为第0行, 往上依次为第1行, 第2行, …,往下依次为第-1行, 第-2行, …。 把每个方格所在的行标记在方格的左上角。 同样, 1对应的正方形所在的列定义为第0列, 往右依次为第1列, 第2列, …,往左依次为第-1列, 第-2列, …。 把每个方格所在的列标记在方格的右下角。 给位于第p行, 第q列的正方形编号为p/q。 显然, 每个有理数都会在方格中出现。 注意这种对应方法也会产生一些无用的部分, 比如1/0, 也会有重复, 比如1/1=2/2。

无穷的正确认识:无穷大也能比较大小——从集合说起(中)

第三步: 沿着螺旋路径移动, 把看到的数做标记, 如下图左侧部分所示。

无穷的正确认识:无穷大也能比较大小——从集合说起(中)

第四步: 移除无用的部分和重复的部分, 如上图右侧部分所示。

这样就给出了有理数集Q和自然数集N之间的一一映射。

4. 有没有比и0更大的无穷大呢?

我们刚刚讨论了无穷大и0, 自然数集、整数集和有理数集的基数都是。 那是不是所有的无穷大都相等呢? 换句话说, 是不是所有的无穷集合都有相同的基数呢? 答案是否定的, 我们很容易找到比и0更大的无穷大来。

4.1 二进制串

无穷的正确认识:无穷大也能比较大小——从集合说起(中)

设有一串可数多个正方形, 现在我们要给这些正方形涂色, 可以选择涂成白色和黑色, 一共有多少种涂色方式呢?

每一种涂色方式对应一个长为и0的二进制串, 二进制串全体构成的集合记为β, 它的基数记为и1。 那么и1与и0是一样的无穷大吗? 康托尔用对角线方法给出了证明。

如果答案是肯定的, 那么我们可以找到二进制串与自然数的一一对应。

无穷的正确认识:无穷大也能比较大小——从集合说起(中)

设上图记录了这个一一对应。 第1行的二进制串与1对应, 第2行的二进制串与2对应, 第3行的二进制串与3对应, 等等依次对应下去。 虽然我们不可能全部画出来, 但可以确定每个二进制串都会出现在这个图的某一行。

无穷的正确认识:无穷大也能比较大小——从集合说起(中)

想象沿着这张图的对角线行走, 并同时记录下我们看到的颜色。

无穷的正确认识:无穷大也能比较大小——从集合说起(中)

调换这个对角串上的所有颜色, 并且把这个新的串称为“小B”。

11.webp

比较小B和原图的每一行, 我们发现

    (1)小B不可能在第1行, 因为它的第1个正方形和第1行的第1个正方形的颜色不一样;

    (2)小B不可能在第2行, 因为它的第2个正方形和第2行的第2个正方形的颜色不一样;

    (3)小B不可能在第3行, 因为它的第3个正方形和第3行的第3个正方形的颜色不一样;

    (4)……

因此, 小B不在这张图中的任何一行。 这与“每个二进制串都会出现在这张图中”相矛盾。 所以二进制串集合 β和自然数集N没有相同的基数。

另一方面, 我们很容易找到自然数集N和二进制串集合β的一个子集的一一映射。 只需要让自然数n与除了第n个正方形是黑色其余都是白色的二进制串对应即可, 如下图。

12.webp

因此, 二进制串集合β的基数大于自然数集N的基数, 即и1>и0。

4.2 可数集的幂集

设A是一个集合, 由它的所有子集构成的集合称为A的幂集。

设A是一个可数集, 则它可以表示为

13.webp

我们做一列正方形与A对应。

14.webp

设 Aα是A的一个子集, 我们根据 Aα包含的元素给A对应的正方形涂色。 如果an是的元素, 则把an对应的正方形涂成黑色; 如果an不是 Aα的元素,则把an对应的正方形涂成白色。 比如,

15.webp

则与对应的二进制串为

16.webp

这样, Aα与一个二进制串对应起来了。 显然, 两个不同的子集对应的二进制串是不同的; 并且每个二进制串都有A的一个子集与之对应。 事实上我们找到了A的所有子集与二进制串之间的一一对应。 因此, A的基数是и0, A的幂集的基数是и1。

4.3 实数集

我们知道, 实数集R和开区间(0,1)具有相同的基数。

一方面, 采用二进制计数法, 开区间(0,1)中的每一个实数x都可以唯一地表式成无穷小数

17.webp

其中xn不全为1, 且不以0为循环节。

如果0用白色表示, 1用黑色表示, 则每个x都与一个二进制串

18.webp

相对应。 比如

19.webp

与它对应的二进制串为

20.webp

显然, (0,1)中不同的点对应的二进制串也不同。 事实上, 我们建立了开区间(0,1)到二进制串集合β 的一个子集的一一映射。 因此, 开区间(0,1)与二进制串集合β 的一个子集有相同的基数。

另一方面, 如果白色用2表示, 黑色用1表示, 则每一个二进制串

21.webp

都与一个十进制小数

22.webp

相对应。 比如, 与二进制串

23.webp

对应的数为

24.webp

显然, 每个二进制串都对应(0,1)中的一个数, 且不同的二进制串对应的数也不同。 事实上, 我们找到了二进制串集合β与开区间(0,1)的一个子集之间的一一映射。 因此, 二进制串集合β 与开区间(0,1)的一个子集有相同的基数。

综合以上讨论, 由康托尔-伯恩斯坦定理可得, 开区间(0,1)与二进制串集合β 有相同的基数, 都是и1。从而实数集R的基数也是。

4.4 平面点集

平面上的点集A={(x,y):0<x,y<1}与开区间(0,1)具有相同的基数, 也是и1。 这说明, 平面上边长为1的正方形与长为1的线段有相同多的点。

25.webp

一方面, 我们很容易找到开区间(0,1)与平面点集A的一个子集的一一映射。 事实上, (0,1)与A中任意一条平行于某一条边界的线段都一一对应。 因此, 开区间(0,1)与A的一个子集有相同的基数。

另一方面, 采用十进制计数法, (0,1)中的每个数都可以唯一地表示成一个无穷小数

26.webp

其中zn不全为9, 且不以0为循环节。 对于A中的任一点(x,y), 其中

27.webp

把这两个数按如下方式交替掺到一起

28.webp

就得到(0,1)中的数z。 显然, A中不同的点对应(0,1)中不同的数。 事实上, 我们已经建立了平面点集A与(0,1)的一个子集的一一映射。 因此, A与(0,1)的一个子集有相同的基数。

综合以上讨论, 由康托尔-伯恩斯坦定理, 平面点集A与开区间(0,1)具有相同的基数, 也是и1。

用同样的方法, 我们还能证明, 边长为1的立方体和长为1的线段具有相同多的点。

[小结]
本期主要讨论了两个不同的无穷大, 自然数集的基数и0和实数集的基数и1,并且有и1>и0. 那么有没有比и1还大的无穷大呢? 欲知详情, 我们下期再见.


(声明:本文仅代表作者观点,不代表本站观点,仅做陈列之用)

[责编:大鱼]

郑重声明:本文版权归原作者所有,转载文章仅为传播更多信息之目的,如作者信息标记有误,请第一时间联系我们修改或删除,多谢。

欢迎扫描关注我们的微信公众平台!

欢迎扫描关注我们的微信公众平台!