无穷大意味着没有大小的边界,两个无穷大之间却也可以比较大小,在集合的对应的法则中,我们找到比较两个无穷大之间大小的方法。
什么是无穷大? 简单地说 , 无穷大就是无穷大的数 , 它们比我们能想象到的无论多大的数都还要大。 数学中存在很多无穷大的数 , 比如 , “所有自然数的个数” , “所有整数的个数” , “实轴上所有点的个数” , 显然都是无穷大的。对于这些无穷大的数 , 我们能比较它们的大小 , 看看哪个“更大些”吗?
前面几个无穷大的例子 , 都是某个集合元素的个数。 因此 , 要想比较两个无穷大的大小 , 我们还得从集合谈起。
1.集合
集合是数学家为事物的群体所起的名字 , 集合当中的事物称为集合的元素。比如{1 , 2 , 3} , {某个教室的座位} , {某个袋子中的糖果} , {整数全体} , {实轴上所有的点} 都是集合。 不包含任何元素的集合称为空集。
需要注意的是 , 集合的各个元素必须是彼此互异的 , 哪些事物是给定集合的元素必须是明确的。 例如“全体瘦的人”不能构成一个集合 , 因为一个人究竟算不算“瘦”没有明确的界限 , 有时无法判断他是否属于这个集合。
一个集合的子集是一个新的集合 , 其元素都属于原始集合。 如果子集不包含全部的初始元素 , 那么称它为真子集。
2. 比较大小的方法——对应
集合按照它所包含的元素个数分为有穷集和无穷集。 空集与只包含有穷多个元素的集合称为有穷集 , 包含无穷多个元素的集合称为无穷集。
对于有穷集 , 只要有足够的时间 , 我们总可以数出它的元素个数 , 从而比较两个集合的大小。 其实 , 不必通过数数 , 我们也能比较两个集合的大小。 比如 , 在一场音乐会上 , 是人多还是座位多? 只要让每个人挑一个座位坐下 , 如果人都坐下了 , 座位还有剩余 , 说明座位多; 如果座位都坐满了 , 人还有剩余 , 说明人多;如果人和座位刚好对应 , 都没有剩下 , 说明人和座位一样多。 老师给幼儿园小朋友发糖 , 是小朋友多还是糖多? 只要给每个小朋友发一块糖 , 就会知道最后是小朋友剩下了还是糖剩下了。 这种方法实际上是在寻找两个集合之间的对应关系。
设A , B是两个非空集合 , 如果有一个对应法则 , 使A中的每个元素 , 都有B中唯一确定的元素与之对应; 反之 , 对于B中的每个元素 , 都有A中唯一确定的元素与之对应 , 则称该对应法则为集合A和B之间的一一映射或一一对应。
对于无穷集合 , 通过数数的方法比较两个集合的大小显然是行不通的。 德国数学家康托尔(Georg Cantor)把集合元素个数的概念进行推广 , 称其为集合的基数。 从上面的例子获得启发 , 他引入了比较集合基数大小的如下两个原则。
比较集合基数大小的原则:
设A , B是两个非空集合。
(I) 如果A与B之间存在一个一一映射 , 则称它们具有相同的基数;
(II) 如果A与B没有相同的基数 , 但A与B的一个真子集有相同的基数 , 则称A的基数比B的基数小。
显然 , 这个推广是比较合理的。 但是 , 当我们真正利用这个原则来比较两个集合的大小时 , 还是会大吃一惊。
比如 , {正奇数全体} 和 {正偶数全体} , 这两个集合有相同的基数。 因为这两个集合的元素之间可以建立如下的一一对应关系 :
这个表中 , 每一个偶数都与一个奇数相对应。 这和我们的直观感觉是一致的。
那么 , {正整数全体} 和 {正偶数全体} , 这两个集合的基数哪个大呢? 从直观感觉来判断 , 我们会觉得前者大一些 , 因为所有的正整数不但包含了所有的正偶数 , 还要加上所有的正奇数。 但这只是我们的直观感觉而已。 只有应用上述比较两个集合基数大小的原则 , 才能得到正确的结果。 事实上 , 我们可以如下建立这两个集合之间的一一映射 :
这时 , 我们才恍然发现 , 我们的直观感觉是错误的。
再举一个例子 , 开区间(0 ,1)和实数全体集合。 一个是有限长的“线段” , 一个是无限长的“直线” , 它们具有“相同多的点”。 因为
是这两个集合之间的一一映射。 这个结论太不可思议了 , 完全颠覆了我们的现有认知。 但根据康托尔比较两个集合基数大小的原则 , 我们又不得不承认它是对的。
于是 , 我们感叹 , 无穷大的世界是超乎我们想象的!
现在 , 关于康托尔提出的比较集合基数大小的原则 , 还有一个问题需要解决。 有没有可能存在集合A与集合B , 同时满足A的基数比B的基数小 , B的基数又比A的基数小呢? 如果这种情况发生 , 那么康托尔的比较原则是有问题的 , 他提出的“基数”这个概念也就不能反映集合的大小了。 幸运的是 , 康托尔-伯恩斯坦(Felix Bernstein)定理排除了这种可能性。
康托尔-伯恩斯坦定理:如果A与B的一个子集有相同的基数 , 且B与A的一个子集有相同的基数 , 那么A与B有相同的基数。
把A看作一个由猫组成的集合 , 把B看作一个由狗组成的集合。 A与B的一个子集有相同的基数 , 意思是 , 存在A到B的一个子集的一一映射。 这个映射可以理解为 , 每一只猫选择一条狗来追逐 , 且不同的猫选择不同的狗。 注意 , 有些狗可能是没有被猫追的。 同样地 , B与A的一个子集有相同的基数 , 意思是 , 存在B到A的一个子集的一一映射。 这个映射可以理解为 , 每一条狗选择一只猫来追逐 , 且不同的狗选择不同的猫。 注意 , 有些猫可能是没有被狗追的。 我们可以想象 , 所有的猫和狗正在相互追逐。 此时 , 我们记录下谁在追逐谁 , 就会发现 , 一共有4种不同的追逐模式。
模式(1) 包含偶数个动物的追逐圈;
模式(2) 没有起点也没有终点的追逐链;
模式(3) 由一只猫开始且没有终点的追逐链;
模式(4) 由一条狗开始且没有终点的追逐链。
因为一只猫只能追逐一条狗 , 且不同的猫追逐不同的狗。 一条狗只能追逐一只猫 , 且不同的狗追逐不同的猫。 所以 , 每一条追逐链(或追逐圈)是相互分离的 , 没有交点。 每一只猫或每一条狗只能出现在一条追逐链(或追逐圈)中。 这样 , 这些追逐链(或追逐圈)就把集合A和B分成了一些互不相交的子集。 对这4种不同的追逐模式定义不同的对应关系 :
模式(1)(3) 把每一只猫与它在这个圈里(或链中)所追逐的那条狗对应起来;
模式(2)(4) 把每一条狗与它在这个链中所追逐的那只猫对应起来。
这样 , 我们就找到了猫集合A与狗集合B之间的一一对应。 因此A与B有相同的基数。
关于有穷集合和无穷集合的区别 , 德国数学家希尔伯特(David Hilbert)讲了这么一个有趣的故事 :
现在设想有一个旅馆 , 内设有穷个房间 , 而且已经住满了旅客。 这时来了一位新旅客 , 想要订个房间。 旅馆老板说 :“对不起 , 已经客满了。”
现在再设想一个旅馆 , 内设有无穷多个房间 , 而且已经住满了旅客。 这时来了一位新旅客 , 想要订个房间。 “没问题!” 旅馆老板说。 然后他把1号房间的旅客安排到了2号房间 , 2号房间的旅客安排到了3号房间 , 3号房间的旅客安排到了4号房间 , 以此类推。 最后他把新来的旅客安排住进了腾出来的1号房间。
这时来了一个旅行团 , 有无穷多位旅客 , 也想要住这家旅馆。 “好的 , 各位朋友 , 请稍等一会儿” 旅馆老板说。 然后他把1号房间的旅客安排到了2号房间 , 2号房间的旅客安排到了4号房间 , 3号房间的旅客安排到了6号房间 , 以此类推。 这样他把所有奇数号的房间都腾出来了 , 可以安排给新来的无穷多位旅客 ,问题解决了!
这时又来了无穷多个旅行团 , 每个旅行团有无穷多位旅客。 只见这个老板不慌不忙 , 他把每个旅客都妥善地安排进了自己的旅馆 , 你知道旅馆老板是怎么安排的吗?(答案见后期文章)
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