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你所不知道的数系发展历程

作者:阿尔伯特数学发布日期:2019-11-16 23:42浏览次数: 来源:微信公众号

什么是数系呢?数系可以简单的理解成数字系统。它包括日常生活中常用的自然数、分数、小数等,同样也有像虚数、p进数这样主要用于科研中的数。

自然数首先被我们所认识,然后有了分数和负数,接着又出现了无理数,后面还有虚数,四元数等等。我们可以发现,人类不是一下子就掌握了这些数,认识这些数不是没有缘由的,也不是一蹴而就的,相反,这是一个漫长曲折的过程。

你所不知道的数系发展历程

图一 人类进化

其实人类最早发明的数系并不是自然数系。在远古时代,人类初期对于数的认识仅限于“1”“2”“3”,再往上走就是“许多”,有些部落甚至只能数到2,所以最早人类使用的数系应该是有限数系{1,2,3}或者{1,2}。在这里我们必须意识到:“1,2,3,4,5”并不是一起被创造的,当然,“0”的发现是更加后面的事情了。数对当时的人类的确很有用处,仅仅是计算获取的猎物,就已经让他们方便了许多。凑巧的是,数系的扩张就是从计算开始的。可想而知,原始人类每次获取的猎物,譬如野兔,不可能总是一只,两只,或三只,往往他们需要更大的数来数清自己的猎物数量。没错,数数就是最基本的数学运算--加法,从1数到5,就相当于1+1+1+1+1,尽管这种运算单调且效率极低。幸运的是,后来人们发现了更广泛的数数,即:不必从1开始数,也不必一次只数1个单位,这样一来,从1数到5,就可以2+2+1了。如果需要数两堆猎物,这样的数数就更方便了,人们可以先数清一堆猎物的数量,譬如4,再数另一堆的数量,譬如5,然后4+5=9,于是,人类发明了加法。有了加法之后,人们发现:任意两个数想加,其得数必大于这两个数(我们的祖先在这个时候还没有发现“0”,以及负数),这样就能不断创造一个更大的数,于是一个伟大的结论出现了:数是无穷的。而这样的数正是自然数。

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图二 许多

人类在自然数上停留了很长时间,因为它对于加法是够用的,即使后来人类发明了乘法,自然数系也依然够用。换句话说,所有自然数通过加法和(或)乘法运算所得到的数依然是自然数。但后来人类不可避免地发明了减法。当然,自然数对于部分减法运算也是够用的,譬如:6-4=2,15-3=12,但若遇到像2-3,3-5这样的情况就束手无策了。于是负数就应运而生了,从此数系从自然数扩充到了整数。

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图三 自然数

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图四 负数

加法的逆运算减法被发明之后,乘法的逆运算除法也如期而至,当然也遇到了与减法相同的问题:类似于5÷2的计算结果是多少,显然,它位于2和3之间,不是一个整数,于是人们发明了分数(有限小数和无限循环小数)去表示这样的运算结果。从此,数系由整数扩充到了有理数。

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图五 分数

有理数系对于加减乘除四则运算都是够用的,学术点来说,有理数系对加减乘除四则运算封闭。但其并不是完美的,唯一的瑕疵在于,有理数系必须去掉“0”才能对除法封闭,因为人们至今还没搞懂任意有理数除以0的得数是多少,这也是为什么0不能作为除数和分母的原因。虽然这个瑕疵导致我们有时候不得不分条件讨论除以0的情况,但在许多情况下这并不困难,因此除了遇到可能除以0的情况,我们仍然可以放心大胆地在有理数系中使用四则运算。

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图六 有理数

从自然数系扩充到有理数系似乎是必然的结果,貌似所有的数都被有理数系包涵了,古希腊的数学家们尤其这样认为。古希腊时期的毕达哥拉斯(约公元前580年-公元前500年)将数学知识运用得纯熟之后,觉得不能只满足于用来算题解题,于是他试着从数学领域扩大到哲学,用数的观点去解释一下世界。经过一番刻苦实践,他提出“万物皆为数”的观点:数的元素就是万物的元素,世界是由数组成的,世界上的一切没有不可以用数来表示的,数本身就是世界的秩序。而他所说的数,都可表示为整数或整数之比,即有理数。但不久之后,其“万物皆为数”的观点受到了致命的冲击,而带来这冲击的这是毕达哥拉斯的门徒--希帕索斯。

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图七 毕达哥拉斯

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图八 希帕索斯

希帕索斯在研究勾股定理时发现,如果直角三角形两条直角边都为1,那么,它的斜边的长度√2就不能归结为整数或整数之比。更令毕达哥拉斯啼笑皆非的,是希帕索斯居然用数学方法证实了这种新数存在的合理性,后来被命名为无理数。希帕索斯经洞察力获得的这一成果,本应被毕达哥拉斯所接受,然而,毕达哥拉斯始终不愿承认自己的错误,却又无法经由逻辑推理推翻希帕索斯的论证。然而更使他终身蒙羞的是,他竟然判决将希帕索斯淹死。最终,只有在毕达哥拉斯死后,无理数才得以安全地被讨论着。无理数的发现推翻了毕达哥拉斯学派建立的数学大厦,由此引发了数学史上的第一次危机。

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图九 无理数

无理数的发现确实带有一定的戏剧性,并且人类为此付出了生命的代价,但从运算的角度来说,无理数的发现也会是一个必然。就像加法有其简便运算乘法,乘法也有它的简便运算,那就是乘方,譬如:4+4+4+4=4×4=42。就像加法有逆运算减法,乘法有逆运算除法,乘方也有其逆运算--开方。人们发现每个有理数通过乘方(正整数次相乘)都能得到另一个有理数,然而开方却不能,譬如前面讲到的√2,所以类似于√2这样的数是不能称之为有理数的,数系因此再次得到扩充,引入无理数,扩充到实数系。√2的确不是一个有理数,因为它既不是整数,也不是整数之比,希帕索斯当时已经用归谬法向毕达哥拉斯给出了证明,后来,欧几里得又使用经典的反证法验证了这一结论。

有理数的命名来源也颇有趣味。有理数在古希腊的名称为λογο?,意为“成比例的数”,英文翻译为“rational number”,到了日本就翻译成了“有理数”,因为“rational”更通俗的翻译为“理性的”,国人那时便以讹传讹,直接照搬了过来。但仔细想想,这样的翻译也独有韵味,当然,与有理数相对应的数被称作无理数也无可厚非了。

人们在实数系大概停留了有2000年的时间,直到公元16世纪,意大利数学家卡尔达诺发表了一般三次方程的求解公式,从此虚数开始萌芽而生,人们开始了数系的又一次扩充之旅。


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[责编:大鱼]

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